Lời giải:
Do \(a,b>0\Rightarrow a-b=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}>0\Rightarrow a> b\)
Đặt \(a=tb (t>1)\)
Theo đề bài ta có: \(\sqrt{tb^2}=\frac{tb+b}{tb-b}\Leftrightarrow b\sqrt{t}=\frac{t+1}{t-1}\)
\(\Leftrightarrow b=\frac{t+1}{\sqrt{t}(t-1)}\)\(\Rightarrow a=bt=\frac{\sqrt{t}(t+1)}{t-1}\)
Khi đó: \(P=\frac{(t+1)^2}{(t-1)^2}+\frac{t-1}{\sqrt{t}}\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{(t-1)^2+4t}{(t-1)^2}+\frac{t-1}{\sqrt{t}}=1+\frac{4t}{(t-1)^2}+\frac{t-1}{\sqrt{t}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM với \(t>1\)
\(\frac{4t}{(t-1)^2}+\frac{t-1}{\sqrt{t}}=\frac{4t}{(t-1)^2}+\frac{t-1}{2\sqrt{t}}+\frac{t-1}{2\sqrt{t}}\geq 3\sqrt[3]{1}=3\)
\(\Rightarrow P\geq 1+3\Leftrightarrow P\geq 4\Leftrightarrow P_{\min}=4\)
Dấu bằng xảy ra khi \(8t\sqrt{t}=(t-1)^3\Leftrightarrow t=3+2\sqrt{2}\)
