Ta có:A=\(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)=\(\dfrac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x-3}}\)
=\(\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}\)+\(\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\)=1+ \(\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\)
Do 1 là số nguyên nên để A là số nguyên thì
\(\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\)phải là số nguyên.Do đó:
\(\sqrt{x}-3\)\(\in\)Ư(4)=\(\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\).
+ \(\sqrt{x}-3\)=1\(\Rightarrow\)x=16 (thỏa mãn)
+\(\sqrt{x}-3\)=-1\(\Rightarrow\)x=4 (thỏa mãn).
+\(\sqrt{x}-3\)=2\(\Rightarrow\)x=25 (thỏa mãn)
+\(\sqrt{x}-3\)=-2\(\Rightarrow\)x=1 (thỏa mãn)
+\(\sqrt{x}-3\)=4\(\Rightarrow\)x=49 (thỏa mãn)
+\(\sqrt{x}-3\)=-4 (loại vì \(\sqrt{x}\)\(\ne\)-1)
vậy x\(\in\){1;4;16;25;49}
Ta có:
\(A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}=1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\)
Để \(A\in Z\Leftrightarrow1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\in Z\Leftrightarrow\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\in Z\)
\(\Leftrightarrow4⋮\sqrt{x}-3\Rightarrow\sqrt{x}-3\inƯ\left(4\right)\)
Mà \(Ư\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)
\(\Rightarrow\) Ta có bảng sau:
| \(\sqrt{x}-3\) | \(1\) | \(-1\) | \(2\) | \(-2\) | \(4\) | \(-4\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(4\) | \(2\) | \(5\) | \(1\) | \(7\) | \(-1\) (loại) |
| \(x\) | \(16\) | \(4\) | \(25\) | \(1\) | \(49\) | loại |
Vậy \(x\in\left\{1;4;16;25;49\right\}\) thì \(A\) có giá trị là số nguyên
\(A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}=1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\)
Để A có giá trị nguyên thì \(4⋮\sqrt{x}-3\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-3\right)\inƯ\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm4\right\}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3=-4\\\sqrt{x}-3=-1\\\sqrt{x}-3=1\\\sqrt{x}-3=4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=-1\\\sqrt{x}=2\\\sqrt{x}=4\\\sqrt{x}=7\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\in\varnothing\\x=4\\x=16\\x=49\end{matrix}\right.\)
Vậy \(x\in\left\{4;16;49\right\}\)
Tick mk nhé