Question

Cho a ,b,c là các số nguyên tố khác nhau đôi một

CMR \(\dfrac{1}{a,b}+\dfrac{1}{b,c}+\dfrac{1}{c,a}\)bé hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{3}\)

Answer 1

sao lúc nào cũng lên hỏi

Answer 2

Vai trò a,b,c như nhau giả sử a < b < c

Mà a, b, c là các số nguyên tố khác nhau đôi một

=> \(a\ge2\), \(b\ge3\), \(c\ge5\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\left[a,b\right]}=\dfrac{1}{ab}\le\dfrac{1}{2.3}\le\dfrac{1}{6}\\\dfrac{1}{\left[b,c\right]}=\dfrac{1}{bc}\le\dfrac{1}{3.5}\le\dfrac{1}{15}\\\dfrac{1}{\left[c,a\right]}=\dfrac{1}{ac}\le\dfrac{1}{2.5}\le\dfrac{1}{10}\end{matrix}\right.\)

=> \(\dfrac{1}{\left[a,b\right]}+\dfrac{1}{\left[b,c\right]}+\dfrac{1}{\left[c,a\right]}\le\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{10}\)

=> \(\dfrac{1}{\left[a,b\right]}+\dfrac{1}{\left[b,c\right]}+\dfrac{1}{\left[c,a\right]}\le\dfrac{1}{3}\)

=> đpcm