a+b+c=1
⇔ (a+b+c )2=1
⇔a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc =1
⇔ 2ab+2bc+2ac =1-a2+b2+c2
⇔2(ab+bc+ac)< 1
⇔ \(ab+bc+ac< \dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(ab+bc+ca\ge3\) . CMR: \(\dfrac{1}{a^2+b^2+1}+\dfrac{1}{b^2+c^2+1}+\dfrac{1}{c^2+a^2+1}\le1\)
Cho a,b,c > 0 và ab+bc+ca = 1. Tìm: \(MaxP=\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)
cho a,b,c >0 thỏa a+b+c=6 cm:
\(\dfrac{ab}{6+a-c}\)+\(\dfrac{bc}{6+b-a}\)+\(\dfrac{ca}{6+c-b}\)<=2
Cho a+b+c+d=1. Chứng minh: ab+bc+ca<\(\dfrac{1}{2}\)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. CMR :
B1
a. \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
b. \(abc>\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)
c. \(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4+b^4-c^4>0c\)
d. \(a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a+b\right)^2>a^3+b^3+c^3\)
B2
a. \(\dfrac{1}{a+b};\dfrac{1}{b+c};\dfrac{1}{c+a}\) cũng là 3 cạnh 1 tam giác khác.
b. \(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. CMR :
\(\dfrac{a+bc}{b+c}+\dfrac{b+ca}{c+a}+\dfrac{c+ab}{a+b}\ge2\)
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{b+c}{ac+b^2}+\dfrac{c+a}{ab+c^2}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
1.Cho a+b+c+d+e=1
Tìm MAx P=ab+bc+cd+de+ae
2.Cho a,b,c đôi một khác nhau
cm : \(\dfrac{a^3-b^3}{\left(a-b\right)^3}+\dfrac{b^3-c^3}{\left(b-c\right)^3}+\dfrac{c^3-a^3}{\left(c-a\right)^3}\ge\dfrac{9}{4}\)
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn : a+b+c = 1 . Tìm GTNN của biểu thức :
A = \(14\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\)