Question

Cho 2^m-1 là số nguyên tố.Chứng minh rằng m cũng là số nguyên tố.

Answer 1

Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Giả sử m là hợp số . Đặt \(m=ab\left(a,b\in N;a.b>1\right)\)

Ta có : \(2^m-1=2^{ab}-1=\left(2^a\right)^b-1^b\)

\(=\left(2^a-1\right)\left[\left(2^a\right)^{b-1}+\left(2^a\right)^{b-2}+...+1\right]\)

Theo điều kiện

\(\left[{}\begin{matrix}\left(2^a\right)^{b-1}+\left(2^a\right)^{b-2}+...+1>1\\2^a-1>1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2^a-1\right)\left[\left(2^a\right)^{b-1}+\left(2^a\right)^{b-2}+...+1\right]\) là hợp số ( mâu thuẫn giả thiết )

=> Giả sử là sai

=> đpcm