Question

Cho 2 số M và N: M gồm 2n chữ số 1; N gồm n chữ số 4

CMR: M + N + 1 là 1 số chính phương

Answer 1

Ta có: M + N + 1 = 111...1 + 444...4 + 1

                             (2n c/s 1)(n c/s 4)

= 111...1 x 1000...0 + 111...1 + 111...1 x 4 + 1

 (n c/s 1)   (n c/s 0)    (n c/s 1) (n c/s 1)

= 111...1 x (1000...0 + 1 + 4) + 1

  (n c/s 1)   (n c/s 0)

= 111...1 x 1000...05 + 1

  (n c/s 1)  (n-1 c/s 0)

= 111...1 x 3 x 333...35 + 1

  (n c/s 1)      (n-1 c/s 3)

= 333...3 x 333...35 + 1

   (n c/s 1) (n-1 c/s 3)

= 333...3 x 333...34 + 333...3 + 1

  (n c/s 3)  (n-1 c/s 3) (n c/s 3)

= 333...3 x 333...4 + 333...34

 (n c/s 3) (n-1 c/s 3) (n-1 c/s 3)

= 333...34² là số chính phương (đpcm)

  (n-1 c/s 3)

Answer 2

 

Ta chứng minh được 

\(\overline{aaa....a}\) ( n số a)

\(=\frac{\left(10^n-1\right)}{9}.a\)

\(\Rightarrow M+N+1=\frac{\left(10^{2n}-1\right)}{9}+\frac{\left(10^n-1\right)}{9}.4+1\)

\(\Rightarrow M+N+1=\frac{\left(10^{2n}-1\right)+\left(10^n-1\right)4+9}{9}\)

\(\Rightarrow M+N+1=\frac{10^{2n}-1+4.10^n-4+9}{9}\)

\(\Rightarrow M+N+1=\frac{10^{2n}+4.10^n+4}{9}\)

\(\Rightarrow M+N+1=\frac{\left(10^n\right)^2+2.10^n.2+2^2}{9}\)

\(\Rightarrow M+N+1=\frac{\left(10^n+2\right)^2}{9}\)

\(\Rightarrow M+N+1=\left[\frac{\left(10^n+2\right)}{3}\right]^2\)

Mặt khác  \(10^n+2=100...02\) ( n - 1 ) số 0

Tổng chữ số \(=1+0\left(n-1\right)+2=3⋮3\)

=> \(10^n+2⋮3\)

=> \(\frac{\left(10^n+2\right)}{3}\in N\)

\(\Rightarrow\left[\frac{\left(10^n+2\right)}{3}\right]^2\) là số chính phương

=> M+N+1 là số chình phương