Violympic toán 8

BA

Cho 0 ≤ a,b,c ≤ 1;a + b + c = 2 Tìm GTLN của \(N=a^2+b^2+c^2\)

AH
27 tháng 3 2018 lúc 22:58

Lời giải:

Ta có: \(N=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)\)

\(=4-2(ab+bc+ac)\)

Vì \(a,b,c\leq 1\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow (ab-a-b+1)(c-1)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1\leq 0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq a+b+c-1+abc\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 1+abc\geq 1\) (do \(a,b,c\geq 0\rightarrow abc\geq 0\) )

Do đó:

\(N=4-2(ab+bc+ac)\leq 4-2=2\)

Hay \(N_{\max}=2\)

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(1,1,0)\) và hoán vị .

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
TT
Xem chi tiết
NS
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
NT
Xem chi tiết
NB
Xem chi tiết
LL
Xem chi tiết
NN
Xem chi tiết
LL
Xem chi tiết