Câu 1:
\(A=2^2+2^3+2^4+...+2^{20}.\)
\(\Rightarrow2A=2\left(2^2+2^3+2^4+...+2^{20}\right).\)
\(\Rightarrow2A=2^3+2^4+2^5+...+2^{21}.\)
\(\Rightarrow2A-A=\left(2^3+2^4+2^5+...+2^{21}\right)-\left(2^2+2^3+2^4+...+2^{20}\right).\)
\(\Rightarrow A=2^{21}-2^2.\)
\(\Rightarrow A+4=\left(2^{21}-2^2\right)+4.\)
\(\Rightarrow A+4=2^{21}+\left(2^2-4\right).\)
\(\Rightarrow A+4=2^{21}.\)
\(\Rightarrow A+4=........2.\)
\(\Rightarrow A+4\) không là số chính phương.
\(\Rightarrowđpcm.\)
Câu 2:
\(S=\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}.\)
\(\Rightarrow S=\left(100a+10b+c\right)+\left(100b+10c+a\right)+\left(100c+10a+b\right).\)
\(\Rightarrow S=\left(100a+10a+a\right)+\left(100b+10b+b\right)+\left(100c+10c+c\right).\)
\(\Rightarrow S=111a+111b=111c.\)
\(\Rightarrow S=111\left(a+b+c\right).\)
\(\Rightarrow S=37.3\left(a+b+c\right).\)
Giả sử S là số chính phương thì S phải chứa thừa số 37 với số mũ chẵn \(\Rightarrow3\left(a+b+c\right)⋮37\Rightarrow a+b+c⋮37.\)
Do \(1\le a+b+c\le27\) nên điều này không thể xảy ra.
\(\Rightarrow S\) không là số chinh phương.
\(\Rightarrowđpcm.\)
Câu 3:
\(B=2+2^2+2^3+...+2^{2017}.\)
\(\Rightarrow2B=2\left(2+2^2+2^3+...+2^{2017}\right).\)
\(\Rightarrow2B=2^2+2^3+2^4+...+2^{2018}.\)
\(\Rightarrow2B-B=\left(2^2+2^3+2^4+...+2^{2018}\right)-\left(2+2^2+2^3+...+2^{2017}\right).\)
\(\Rightarrow B=2^{2018}-2.\)
\(\Rightarrow B+2=\left(2^{2018}-2\right)+2.\)
\(\Rightarrow B+2=2^{2018}+\left(2-2\right).\)
\(\Rightarrow B+2=2^{2018}.\)
\(\Rightarrow B+2=........4.\)
\(\Rightarrow B+2\) là số chính phương.
\(\Rightarrowđpcm.\)