a) Vì \(MN\) là đường trung trực của \(AC\left(gt\right)\)
=> \(MN\perp AC\) (định nghĩa đường trung trực).
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(AMN\) và \(CMN\) có:
\(\widehat{ANM}=\widehat{CNM}=90^0\left(gt\right)\)
\(AN=CN\) (vì N là trung điểm của \(AC\))
Cạnh MN chung
=> \(\Delta AMN=\Delta CMN\) (2 cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau).
=> \(AM=CM\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(\Delta AMC\) cân tại \(M.\)
b) Theo câu a) ta có \(\Delta AMN=\Delta CMN.\)
=> \(\widehat{NAM}=\widehat{NCM}\) (2 góc tương ứng).
Hay \(\widehat{CAM}=\widehat{ACB}.\)
+ Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\) (tính chất tam giác vuông) (1).
+ Ta có: \(\widehat{BAM}+\widehat{CAM}=\widehat{BAC}.\)
=> \(\widehat{BAM}+\widehat{CAM}=90^0\) (2).
Từ (1) và (2) => \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=\widehat{BAM}+\widehat{CAM}.\)
Mà \(\widehat{ACB}=\widehat{CAM}\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{BAM}.\)
Hay \(\widehat{ABM}=\widehat{BAM}.\)
=> \(\Delta MAB\) cân tại \(M.\)
Chúc bạn học tốt!