Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC ). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên
tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc
với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định
khi D thay đổi trên cạnh BC
a) Ta có : \(\Delta DMB = \Delta ENC\)(g-c-g)( Vì \(\widehat{MMD}= \widehat{NCE}\) cùng bằng \(\widehat{ACB}\))
Vậy MD=NE
b) Xét \(\Delta DMI \) và \(\Delta ENI\) ta có:
\(\widehat{D} =\widehat{E}=90^o \)
MD=NE
\(\widehat{MID}=\widehat{NIE}\)(đối đỉnh)
Do đó \(\Delta DMI \)=\(\Delta ENI\)(cgv-gn)
Vậy MI=NI(hai cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow\)đpcm
c) Từ B và C kẻ các đường thẳng lần lượt vuông góc với AB và AC cắt nhau tại J.
Ta có: \(\Delta ABJ= \Delta ACJ\)(g-c-g) nên: JB=JC(hai cạnh tương ứng)
Nên J thuộc AL đường trung trực ứng với BC
Mặt khác: từ \(\Delta DMB= \Delta ENC\)(câu a)
Ta có: BM=CN
BJ=CJ(cmt)
\(\widehat{MBJ}=\widehat{NCJ}=90^o\)
Nên \(\Delta BMJ= \Delta CNJ\)(c-g-c)
\(\Rightarrow\)MJ=NJ hay đường trung trực của MN luôn đi qua điểm J cố định