a) Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta AKE\) có :
\(\widehat{ACE}=\widehat{AKE}=90^o;AE:chung;\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta ACE\) = \(\Delta AKE\) (ch - gn )
b) Vì \(\Delta ACE\) = \(\Delta AKE\)
\(\Rightarrow\) AC = AK \(\Rightarrow\) \(\Delta ACK\) cân
mà AE là phân giác \(\Rightarrow\) AE là trung trực của CK
c) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A
\(\Rightarrow\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^o\Rightarrow\widehat{CBA}=30^o\) (1)
Có AE là phân giác của \(\widehat{CAE}\)
\(\Rightarrow\widehat{CAE}=\widehat{BAE}=\frac{60^o}{2}=30^o\) (2)
Từ (1 ) và (2) \(\Rightarrow\) \(\Delta AEB\) cân tại E mà EK là đường cao
\(\Rightarrow\) EK là trung tuyến \(\Rightarrow\) AK = KB
d) Xét \(\Delta AEC\) vuông tại E
\(\Rightarrow\) AE > EC ( ch > cgv )
mà AE = EB (vì \(\Delta AEB\) cân tại E )
\(\Rightarrow\) EB > EC ( đpcm )
a)Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta AKE\) ta có:
AE chung
\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)(AE là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\))
\(\widehat{ECA}=\widehat{EKA}=90^o\)
Do đó \(\Delta ACE\)=\(\Delta AKE\)(ch-gn)
Vậy AC=AK(hai cạnh tương ứng)
b)Vì \(\Delta ACK\) có AC=AK nên \(\Delta ACK\) cân mà có AE là đường phân giác nên AE cũng là đường trung trực của \(\Delta ACK\)
=> AE là đường trung trực của CK
c)Vì tổng của các góc bằng \(180^o \) nên:
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)
Mà \(\widehat{A}=90^o;\widehat{A}=60^o\)
=>\(\widehat{C}=180^o-(\widehat{A}+\widehat{C})\)
\(=180^o-150^o\)
\(=30^o\)
Vì AE là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\) nên:
\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}\)
=>\(\widehat{KAE}=30^o\)
Xét \(\Delta AEK\) và \(\Delta BEK\) ta có:
KE chung
\(\widehat{EKB}=\widehat{EKA}=90^o\)
\(\widehat{EAK}=\widehat{EBK}\)
Do đo \(\Delta AEK\)=\(\Delta BEK\)(cgv-gn)
Vậy KA=KB;BE=AE(hai cạnh tương ứng)
d) Vì \(\Delta ECA\) vuông(\(\widehat{C}=90^o\))mà có EA là cạnh huyên nên:
EA>EC
EA>CA
Mà EA=EB
=>BE>EC