Question

Bài 1 : GTNN của biểu thức
$P=5{\mathrm{x^}}^2+2{\mathrm{y^}}^2+4xy-4x+8y+25$

Câu 2:
Cho vuông tại A, đường cao AH. Gọi D,E lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB và AC
1. Chứng minh Tứ giác ADHE là hình chữ nhật
2. Gọi M là trung điểm của HC. Chứng minh $\Delta DEM$ vuông
3. $\Delta ABC$ phải có thêm điều kiện gì để DE=2EM

 

Answer 1

bài 1

P= 5x²+2y²+4xy-4x+8y+25

= (4x² +4xy+y²) + (x²-4x+4)+(y² +8y +16)+5

= (2x+y)²+ (x-2)²+(y+4)²+5 lớn hơn hoặc bằng 5 với mọi x,y

dấu ''='' xảy ra <=> \(\begin{cases}2x+y=0\\x-2=0\\y+4=0\end{cases}\)

<=>\(\begin{cases}2x=-y\\x=2\\y=-4\end{cases}\)

<=> x= 2 và y =-4

vậy GTNN của P = 5 <=> x= 2 và y =-4

Answer 2

câu 2

Giải 1.

Xét tứ giác ADHE có

góc DAE = góc ADH = góc AEH =90 độ (gt)

=> tứ giác ADHE là hình chứ nhật (dhnb)

Vậy tứ giác ADHE là hình chữ nhật

giải 2. giả sử AH cắt DE tại O . nối O với M

xét tam giác HEC vuông tại E( HE vuông góc với EC) có

EM là đường trung tuyến ứng với cạnh HC ( M là trung điểm HC)

=> EM = 1/2HC (t/c)

mà HM = 1/2 HC(M là trung điểm của HC)

=> EM=HM

Xét hình chữ nhật ADHE có : AH giao với DE tại O (gt)

=> O là trung điểm của AH và O là trung điểm DE (t/c)

mà AH=DE ( tứ giác ADHE là hình chữ nhật)

=> OH=OE

Xét tam giác OHM và tam giác OEM có

OH =OE(cmt)

HM= EM (cmt)

OM chung

do đó tam giác OHM = tam giác OEM (c-c-c)

=> góc OHM = góc OEM (2 góc tương ứng)

mà góc OHM=90 độ ( AH vuông góc với HC)=> góc OEM =90 độ hay góc DEM= 90 độ

Xét tam giác DEM có góc DEM 90 độ => tam giác DEM vuông tại E

Vậy tam giác DEM vuông tại E

giải 3: giải sử DE=2EM

mà DE= AH (cmt) và HC=2EM(cmt)

=> AH= HC

=> tam giác AHC cân tại H (dhnb) mà AHC=90 độ (AH vuông góc vs HC)

=> tam giác AHC vuông cân tại H ( dnhn)

=> góc ACH= 45 độ

Xét tam giác ABC vuông tại A có

góc ABC + góc ACB=90 độ (t/c)

=> góc ABC = 90độ - 45 độ = 45 độ

=>góc ABC = góc CAB

do đó tam giác ABC vuông cân (dhnb)

Vậy tam giác ABC vuông cân thì DE=2EM