Question

B1: Cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y\(\le\)1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

A=\(\frac{1}{x^3+3xy^2}+\frac{1}{y^3+3x^2y}\)

help me !!!

Answer 1

_Solution:

Prove with Cauchy-Schwarz inequality engel form, we have:

\(A=\frac{1}{x^3+3xy^2}+\frac{1}{y^3+3x^2y}\ge\frac{4}{x^3+y^3+3xy^2+3x^2y}\)

\(A\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^3}\)

Other way: \(x+y\le1\Rightarrow\left(x+y\right)^3\le1\Rightarrow\frac{1}{\left(x+y\right)^3}\ge1\)

\(\Rightarrow A\ge4\) (proof)

We have ''='' \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\).