Question

B1: Cho a+b+c+d=2. CMR \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge1\)

B2: Cho 2 số thực a,b khác 0.CMR \(\frac{a^2}{1+16a^4}+\frac{b^2}{1+b^4}\le\frac{1}{4}\)

B3: Cho x,y>0 và x+y\(\ge4\). CMR 2x+3y+\(\frac{6}{x}+\frac{10}{y}\ge18\)

GIÚP MÌNH NỮA NHA, CHIỀU HỌC ỒI

Answer 1

Bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)\geq (a+b+c+d)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{4}=\frac{2^2}{4}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xay ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\)

Answer 2

Bài 2:

Bạn xem lại đề:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:

\(16a^4+1\geq 2\sqrt{16a^4.1}=8a^2\Rightarrow \frac{a^2}{1+16a^4}\leq \frac{a^2}{8a^2}=\frac{1}{8}(1)\)

\(b^4+1\geq 2\sqrt{b^4.1}=2b^2\Rightarrow \frac{b^2}{1+b^4}\leq \frac{b^2}{2b^2}=\frac{1}{2}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{a^2}{1+16a^4}+\frac{b^2}{1+b^4}\leq \frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{5}{8}\) chứ không phải $\frac{1}{4}$

Nếu bạn muốn kết quả là $\frac{1}{4}$ thì cần thay $b^4$ bằng $16b^4$ và làm tương tự như trên.

Answer 3

Bài 3:

Ta có:

\(2x+3y+\frac{6}{x}+\frac{10}{y}=\frac{1}{2}(x+y)+(\frac{3}{2}x+\frac{6}{x})+(\frac{5}{2}y+\frac{10}{y})\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

\(\frac{3}{2}x+\frac{6}{x}\geq 2\sqrt{\frac{3}{2}x.\frac{6}{x}}=6(1)\)

\(\frac{5}{2}y+\frac{10}{y}\geq 2\sqrt{\frac{5}{2}y.\frac{10}{y}}=10(2)\)

\(\frac{1}{2}(x+y)\geq \frac{1}{2}.4=2(3)\) do $x+y\geq 4$

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow 2x+3y+\frac{6}{x}+\frac{10}{y}\geq 6+10+2=18\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=2$.