Question

@Harasahi Yuno giúp với

Cho S=1-3+3²-3³+......+3⁹⁹

a) Chứng minh rằng S là B_(-20)

b) Tính S từ đó suy ra 3¹⁰⁰ chia cho 4 dư 1

Answer 1

a, \(S=1-3+3^2-3^3+...+3^{98}-3^{99}\)

\(=\left(1-3+3^2-3^3\right)+...+\left(3^{96}-3^{97}+3^{98}-3^{99}\right)\)

\(=\left(-20\right)+...+3^{96}\left(-20\right)\)

\(=\left(-20\right).\left(1+...+3^{96}\right)\)

\(\Rightarrow S⋮\left(-20\right)\)

Vậy S là bội của -20

b, \(S=1-3+3^2-3^3+...+3^{98}-3^{99}\)

\(3S=3-3^2+3^3-3^4+...+3^{99}-3^{100}\)

\(3S+S=4S=1-3^{100}\)

\(S=\frac{1-3^{100}}{4}\)

Vì S là một số nguyên nên \(1-3^{100}⋮4\) hay \(3^{100}-1⋮4\) => 3¹⁰⁰ chia 4 dư 1

Answer 2

a) S=1-3+3²-...+3^98_-3⁹⁹

=(1-3+3²-3³)+...+(3⁹⁶-3⁹⁷+3⁹⁸-3⁹⁹)

=-20+...+3⁹⁶.(-20)

=-20.(1+...3⁹⁶) là bội của -20 (ĐPCM)

b)S=1-3+3²-...+3⁹⁸-3⁹⁹ (1)

=>3S=3-3²+3³+...+3⁹⁹-3¹⁰⁰ (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4S = 1-3¹⁰⁰

Do S chia hết cho -20 nên suy ra 4S chia hết cho 4 =>1-3¹⁰⁰

=>3^{100 chia cho 4 dư 1}

Answer 3