ta có : \(\left(p\right)\) có đỉnh \(I\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{-4}{3}\right)\)
\(\Rightarrow\) điểm đối xướng \(x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow2a=-3b\Leftrightarrow2a+3b=0\) (1)
và \(I\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{-4}{3}\right)\) đồng thời cũng thuộc \(\left(p\right)\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{3}\right)^2a+\dfrac{1}{3}b+c=\dfrac{-4}{3}\Leftrightarrow\dfrac{1}{9}a+\dfrac{1}{3}b+c=\dfrac{-4}{3}\) (2)
ta có : \(\left(p\right)\) đi qua đỉnh \(A\left(1;0\right)\) \(\Rightarrow A\left(1;0\right)\in\left(p\right)\)
\(\Rightarrow1^2.a+1.b+c=0\Leftrightarrow a+b+c=0\) (3)
từ (1) ; (2) và (3) ta có được hệ phương trình 3 ẩn
\(\left\{{}\begin{matrix}2a+3b=0\\\dfrac{1}{9}a+\dfrac{1}{3}b+c=\dfrac{-4}{3}\\a+b+c=0\end{matrix}\right.\) bấm máy tính ta tìm được \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-2\\c=-1\end{matrix}\right.\)
vậy parabol \(y=ax^2+bx+c\) cần tìm là \(y=3x^2-2b-1\)