a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\)
\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\cdot2\sqrt{xy}}=VP\)
Xảy ra khi \(x=y\)
b)\(BDT\Leftrightarrow x+y+z+t\ge4\sqrt[4]{xyzt}\)
Đúng với AM-GM 4 số
Xảy ra khi \(x=y=z=t\)
a) Giải \(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=35\end{matrix}\right.\)
b) Cho 0 < a < b < c < d. Chứng minh \(\left(b+c\right)\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)< \dfrac{\left(a+d\right)^2}{ad}\)
Rút gọn : \(A=\left[\text{(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}).\dfrac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}\right]:\dfrac{\sqrt{x^3}+y\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{y^3}}{\sqrt{xy^3}+\sqrt{x^3y}}\)
Cho \(A=xy.\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\)
\(B=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}\)
Điều kiện: xy >0
Tính b theo a
đề bài cho như sau :
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn :
ab + bc + ca + 2abc = 1
CMR : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge4\left(a+b+c\right)\)
Cách làm như sau :
Từ điều kiện đề bài suy ra tồn tại các số x,y,z >0 thỏa mãn :
( a , b , c ) = \(\left(\dfrac{x}{y+z};\dfrac{y}{x+z};\dfrac{z}{x+y}\right)\) Khi đó , BĐT cần chứng minh tương đương với : \(\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}\ge4\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}\right)\ge4\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}\right)\)(*) BĐT trên hiển nhiên đúng do theo BĐT Cauchy-Schwarz thì : \(x\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{4x}{y+z}\) \(y\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{4y}{x+z}\) \(z\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}\right)\ge\dfrac{4x}{y+z}\) Cộng theo vế thì ta thu được (*) , do đó ta có đpcm Dấu "=" xảy ra khi x = y = z => a = b = c = 1/2 CHO MÌNH HỎI LÀ MÌNH KHÔNG HIỂU CHỖ hiển nhiên đúng khi cauchy swat làm sao lại lớn hơn hoặc bằng cái đấy , AI GIẢI THÍCH CHO MÌNH VỚI VÀ THÊM CẢ CHỖ ĐẦU BÀI Ý ĐÚNG 1 PHÁT RA X,Y,Z LÀ SAO ? GIẢI THÍCH NHANH SẼ NHẬN GP\(A=\left(\dfrac{x-5\sqrt{x}}{x-25}-1\right):\left(\dfrac{25-x}{x+2\sqrt{x}-15}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+5}+\dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+3}\right)\)
\(B=\left(\dfrac{2+x}{2-x}-\dfrac{4x^2}{x^2-4}-\dfrac{2-x}{x+2}\right):\dfrac{x^2-3x}{2x^2-x^3}\)
a) Rút gọn A & B
b) Tìm x để B > 0
c) Tính B khi \(\left|1-x\right|=0\)
\(A=\left(1-\dfrac{2}{1+2\sqrt{x}}-\dfrac{5\sqrt{x}}{4x-1}-\dfrac{1}{1-2\sqrt{x}}\right):\dfrac{\sqrt{x}-1}{4x+4\sqrt{x}+1}\)
a) R/g và Txđ
b) Tìm x thuộc Z để A thuộc Z
Rút gọn và tìm điều kiện xác định
\(\left[\dfrac{2\left(x+y\right)}{\sqrt{x}^3-2\sqrt{2y^3}}-\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{2xy}+2y}\right].\left[\dfrac{x\sqrt{x}+2\sqrt{2y^3}}{2y+\sqrt{2xy}}-\sqrt{x}\right]\)
a) Giải \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x+3}-\dfrac{5}{y-2}=1\\\dfrac{x+4}{x+3}+\dfrac{y+3}{y-2}=4\end{matrix}\right.\)
b) Giải : \(x^2+2\sqrt{3}x-6=0\)
Rút gọn:
\(A=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}-2}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{x-\sqrt{x}-4}{x+\sqrt{x}-2}\right)\)