Question

a, cho a và b là các số tùy ý, chứng minh rằng

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

b, cho a và b là hai số cùng dấu, cmr

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Answer 1

Lời giải:

a)

Xét hiệu: \((a^2+b^2+1)-(ab+a+b)=\frac{2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b}{2}\)

\(=\frac{(a^2+b^2-2ab)+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)}{2}=\frac{(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2}{2}\)

\(\geq 0, \forall a,b\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+1\geq a+b+ab\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

b)

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}\)

Ta có:

$(a-b)^2\geq 0$ với mọi $a,b$

$ab>0$ do $a,b$ cùng dấu

$\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{(a-b)^2}{ab}\geq 0$

$\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$