1, tìm x nguyên để phân số sau là số nguyên:
\(a,\dfrac{3x+7}{x-1}b,\dfrac{4x-1}{3-x}\)
2, tìm x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
A=\(\left(x-1\right)^2+2008\) B=\(\left|x+4\right|+1996\) C=\(\dfrac{5}{x-2}\) D=\(\dfrac{x+5}{x-4}\)
3, tìm x nguyên để các biểu thức sau đạt GTLN
P=\(2010-\left(x+1\right)^{2008}\) Q=\(1010-\left|3-x\right|\) C=\(\dfrac{5}{\left(x-3\right)^2+1}\) D=\(\dfrac{4}{\left|x-2\right|+2}\)
Câu 1: Lời giải:
a, Đặt \(A=\dfrac{3x+7}{x-1}\).
Ta có: \(A=\dfrac{3x+7}{x-1}=\dfrac{3x-3+10}{x-1}=\dfrac{3x-3}{x-1}+\dfrac{10}{x-1}=3+\dfrac{10}{x-1}\)
Để \(A\in Z\) thì \(\dfrac{10}{x-1}\in Z\Rightarrow10⋮x-1\Leftrightarrow x-1\in U\left(10\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm5;\pm10\right\}\)
Ta có bảng sau:
| \(x-1\) | \(1\) | \(-1\) | \(2\) | \(-2\) | \(5\) | \(-5\) | \(10\) | \(-10\) |
| \(x\) | \(2\) | \(0\) | \(3\) | \(-1\) | \(6\) | \(-4\) | \(11\) | \(-9\) |
Vậy, với \(x\in\left\{-9;-4;-1;0;2;3;6;11\right\}\)thì \(A=\dfrac{3x+7}{x-1}\in Z\).
Câu 3:
a, Ta có: \(-\left(x+1\right)^{2008}\le0\)
\(\Rightarrow P=2010-\left(x+1\right)^{2008}\le2010\)
Dấu " = " khi \(\left(x+1\right)^{2008}=0\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1\)
Vậy \(MAX_P=2010\) khi x = -1
b, Ta có: \(-\left|3-x\right|\le0\)
\(\Rightarrow Q=1010-\left|3-x\right|\le1010\)
Dấu " = " khi \(\left|3-x\right|=0\Rightarrow x=3\)
Vậy \(MAX_Q=1010\) khi x = 3
c, Vì \(\left(x-3\right)^2+1\ge0\) nên để C lớn nhất thì \(\left(x-3\right)^2+1\) nhỏ nhất
Ta có: \(\left(x-3\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-3\right)^2+1\ge1\)
\(\Rightarrow C=\dfrac{5}{\left(x-3\right)^2+1}\le\dfrac{5}{1}=5\)
Dấu " = " khi \(\left(x-3\right)^2=0\Rightarrow x=3\)
Vậy \(MAX_C=5\) khi x = 3
d, Do \(\left|x-2\right|+2\ge0\) nên để D lớn nhất thì \(\left|x-2\right|+2\) nhỏ nhất
Ta có: \(\left|x-2\right|\ge0\Rightarrow\left|x-2\right|+2\ge2\)
\(\Rightarrow D=\dfrac{4}{\left|x-2\right|+2}\le\dfrac{4}{2}=2\)
Dấu " = " khi \(\left|x-2\right|=0\Rightarrow x=2\)
Vậy \(MAX_D=2\) khi x = 2
Câu 2:
a,Ta có:\(\left(x-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow A=\left(x-1\right)^2+2008\ge2008\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\)
Vậy GTNN của A=2008 khi x=1
=>x=1
b,Ta có \(\left|x+4\right|\ge0\)
=>\(B=\left|x+4\right|+1996\ge1996\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow x+4=0\Leftrightarrow x=-4\)
Vậy GTNN của B=1996 khi x=-4
=> x=-4
c, Để C đạt GTNN \(\Leftrightarrow\dfrac{5}{x-2}\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow x-2\) lớn nhất
Vì \(x\in Z\Rightarrow x-2\in Z\)
C nhỏ nhất khi x-2 là số tự nhiên khác 0
\(\Rightarrow x-2=5\Rightarrow x=7\)
\(\Rightarrow\) GTNN của \(C=\dfrac{5}{x-2}=\dfrac{5}{7-2}=\dfrac{5}{5}=1\)
Vậy GTNN của C=1 khi x=7
=> x=7
d,\(D=\dfrac{x+5}{x-4}=\dfrac{x-4+9}{x-4}=1+\dfrac{9}{x-4}\)
Để D nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\dfrac{9}{x-4}\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow x-4\) lớn nhất
=> \(x-4=9\Leftrightarrow x=13\)
=> GTNN của \(D=1+\dfrac{9}{x-4}=1+\dfrac{9}{13-4}=1+\dfrac{9}{9}=1+1=2\)
Vậy GTNN của D=2 khi x=13
=>x=13
