Question

1. Giải phương trình\(x^2+\dfrac{x^2}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{5}{4}\)

2.Tìm số tự nhiên n để \(n^2+5n+12\) là một số chính phương

3.Tìm các hằng số a và b sao cho \(2x^3+ax+b\) chia cho x+1 dư 6 , chia cho x-2 dư 21

4. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\) và \(a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}=9^{1009}\) . Tính Giá trị biểu thức \(P=\left(a-2\right)^{2018}+\left(b-3\right)^{2019}+\left(c-4\right)^{2020}\)

 

Answer 1

Câu 1:

ĐK: $x\neq -1$

PT $\Leftrightarrow (x-\frac{x}{x+1})^2+\frac{2x^2}{x+1}=\frac{5}{4}$

$\Leftrightarrow (\frac{x^2}{x+1})^2+\frac{2x^2}{x+1}=\frac{5}{4}$

Đặt $\frac{x^2}{x+1}=a$ thì pt trở thành:

$a^2+2a=\frac{5}{4}$

$\Leftrightarrow 4a^2+8a-5=0$

$\Leftrightarrow (2a-1)(2a+5)=0$

$\Rightarrow a=\frac{1}{2}$ hoặc $a=\frac{-5}{2}$

Nếu $a=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{x^2}{x+1}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 2x^2=x+1\Leftrightarrow 2x^2-x-1=0\Leftrightarrow (x-1)(2x+1)=0$

$\Rightarrow x=1$ hoặc $x=\frac{-1}{2}$

Nếu $a=\frac{-5}{2}\Leftrightarrow \frac{x^2}{x+1}=\frac{-5}{2}$

$\Rightarrow 2x^2+5x+5=0$

$2(x+\frac{5}{4})^2=-\frac{15}{8}< 0$ (vô lý)

Vậy.......

Answer 2

Câu 2:

Đặt $n^2+5n+12=a^2$ với $a\in\mathbb{N}$

$\Leftrightarrow 4n^2+20n+48=4a^2$

$\Leftrightarrow (2n+5)^2+23=(2a)^2$

$\Leftrightarrow 23=(2a-2n-5)(2a+2n+5)$
Vì $2n+2n+5\geq 5$ với mọi số tự nhiên $a,n$ nên:

$2a-2n-5=1; 2a+2n+5=23$

$\Rightarrow n=3$

 

Answer 3

Câu 3:

Đặt $f(x)=2x^3+ax+b$. Theo định lý Bedu, số dư của $f(x)$ khi chia cho $x+1$ và $x-2$ lần lượt là $f(-1)$ và $f(2)$.

Điều đó có nghĩa là:

\(\left\{\begin{matrix} f(-1)=-2-a+b=6\\ f(2)=16+2a+b=21\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -a+b=8\\ 2a+b=5\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=7\end{matrix}\right.\)

Answer 4

Câu 4:

$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

Ta thấy: $(a-b)^2\geq 0; (b-c)^2\geq 0; (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$

Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì $(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$

$\Rightarrow a=b=c$

Khi đó:

$3a^{2017}=9^{1009}=3^{2018}$

$\Leftrightarrow a^{2017}=3^{2017}\Rightarrow a=3$

$\Rightarrow b=c=3$

Khi đó:

$P=1^{2018}+0^{2019}+(-1)^{2020}=1+0+1=2$