1: \(A=\left(\dfrac{4x-x^3}{1-4x^2}-x\right):\left(\dfrac{4x^2-x^4}{1-4x^2}+1\right)\)
a, Tìm tập xác định và rút gọn A
b, x = ? để A>0, A<0
2: Tìm a, b để \(x^4+ax^3+b⋮x^2-1\) (lưu ý: chứng mình bằng 2 phương pháp)
3: Rút gọn \(\dfrac{\sqrt{12}-\sqrt{27}-\sqrt{48}}{1-\sqrt{5}+9\sqrt{9-4\sqrt{5}}}\)
4: Cho 2a, 3b, 4c tỉ lệ thuận với 3; 4; 5 và a - b + 2c = 1. Tính 2a + b - 3c
5: Cho 2a, 3b, 4c tỉ lệ ngược với 3; 4; 5 và a - b + 2c = 1. Tính 2a + b - 3c
6: Cho x + y + z = 1. Tìm min K = \(x^2+y^2+z^2\)
Bài 2:
Để \(x^4+ax^3+b\vdots x^2-1\) thì \(x^4+ax^3+b\) phải được viết dưới dạng :
\(x^4+ax^3+b=(x^2-1)Q(x)\) với $Q(x)$ là đa thức thương.
Thay $x=1$ và $x=-1$ lần lượt ta có:
\(\left\{\begin{matrix} 1+a+b=(1^2-1)Q(1)=0\\ 1-a+b=[(-1)^2-1]Q(-1)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=-1\\ -a+b=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=0\\ b=-1\end{matrix}\right.\)
PP 2 xin đợi bạn khác giải quyết :)
Bài 3:
Ta có: \(\frac{\sqrt{12}-\sqrt{27}-\sqrt{48}}{1-\sqrt{5}+9\sqrt{9-4\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{12}-\sqrt{27}-\sqrt{48}}{1-\sqrt{5}+9\sqrt{5+4-4\sqrt{5}}}\)
\(=\frac{\sqrt{12}-\sqrt{27}-\sqrt{48}}{1-\sqrt{5}+9\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}}=\frac{\sqrt{12}-\sqrt{27}-\sqrt{48}}{1-\sqrt{5}+9(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{3}(2-3-4)}{-17+8\sqrt{5}}=\frac{-5\sqrt{3}}{-17+8\sqrt{5}}\)
\(=\frac{5\sqrt{3}}{17-8\sqrt{5}}\)
Bài 1:
a) ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} 1-4x^2\neq 0\\ \frac{4x^2-x^4}{1-4x^2}+1\neq 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pm 1}{2}\\ \frac{1-x^4}{1-4x^2}\neq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pm 1}{2}\\ x\neq \pm 1\end{matrix}\right.\)
Rút gọn:
\(A=\left(\frac{4x-x^3}{1-4x^2}-x\right):\left(\frac{4x^2-x^4}{1-4x^2}+1\right)\)
\(=\frac{4x-x^3-x+4x^3}{1-4x^2}:\frac{1-x^4}{1-4x^2}=\frac{3x+3x^3}{1-4x^2}.\frac{1-4x^2}{1-x^4}\)
\(=\frac{3x(x^2+1)}{1-x^4}=\frac{3x(x^2+1)}{(x^2+1)(1-x^2)}=\frac{3x}{1-x^2}\)
b)
\(A=\frac{3x}{1-x^2}>0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 3x>0, 1-x^2>0\\ 3x<0, 1-x^2< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x>0; -1< x< 1\\ x< 0;\text{x>1 or x< -1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 0< x< 1\\ x< -1\end{matrix}\right.\)
\(A=\frac{3x}{1-x^2}< 0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 3x>0; 1-x^2< 0\\ 3x< 0; 1-x^2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x>0; \text{x>1 or x< -1}\\ x< 0; -1< x< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x>1\\ -1< x< 0\end{matrix}\right.\)
Bài 4:
Theo đề bài ta đặt: \(\frac{2a}{3}=\frac{3b}{4}=\frac{4c}{5}=t\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{3}{2}t\\ b=\frac{4}{3}t\\ c=\frac{5}{4}t\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(a-b+2c=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{3}{2}t-\frac{4}{3}t+\frac{5}{2}t=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{8}{3}t=1\Rightarrow t=\frac{3}{8}\)
Suy ra: \(2a+b-3c=3t+\frac{4}{3}t-\frac{15}{4}t=\frac{7}{12}t=\frac{7}{12}.\frac{3}{8}=\frac{7}{32}\)
Bài 5:
Theo đề bài ta đặt:
\(\frac{2a}{\frac{1}{3}}=\frac{3b}{\frac{1}{4}}=\frac{4c}{\frac{1}{5}}=t\)\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{t}{6}\\ b=\frac{t}{12}\\ c=\frac{t}{20}\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(a-b+2c=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{t}{6}-\frac{t}{12}+\frac{t}{10}=1\Leftrightarrow \frac{11}{60}t=1\Rightarrow t=\frac{60}{11}\)
Suy ra:
\(2a+b-3c=\frac{t}{3}+\frac{t}{12}-\frac{3t}{20}=\frac{4}{15}t=\frac{4}{15}.\frac{60}{11}=\frac{16}{11}\)
Bài 6:
Ta có:
\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=\frac{x^2-2xy+y^2}{2}+\frac{y^2-2yz+z^2}{2}+\frac{z^2-2xz+x^2}{2}\)
\(=\frac{(x-y)^2}{2}+\frac{(y-z)^2}{2}+\frac{(z-x)^2}{2}\geq 0, \forall x,y,z\in\mathbb{R}\)
Do đó:
\(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(xy+yz+xz)\)
\(\Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^2\)
Do đó:
\(K=x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Vậy \(K_{\min}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)