Giúp được mỗi câu 3 thôi
Có \(1+2+3+...+x=\overline{aaa}\) (a là chữ số)
\(\Rightarrow\dfrac{x.\left(x+1\right)}{2}=\overline{aaa}\)
\(\Rightarrow x.\left(x+1\right)=2.\overline{aaa}=2.\left(100a+10a+a\right)\)
\(\Rightarrow x.\left(x+1\right)=2.111.a\)
\(\Rightarrow x.\left(x+1\right)=2.3.37.a\)
\(\Rightarrow x.\left(x+1\right)⋮37\)
Có 37 là số nguyên tố
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x⋮37\\x+1⋮37\end{matrix}\right.\)
Lại có: \(x.\left(x+1\right)=2.\overline{aaa}< 2000\)
\(\Rightarrow0< x< 50\)
\(\Rightarrow x,x+1\in\left\{37;38\right\}\) hoặc \(x,x+1\in\left\{36;37\right\}\)
Có \(x.\left(x+1\right)⋮3\)
Mà 3 là số nguyên tố
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x⋮3\\x+1⋮3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x,x+1\in\left\{36;37\right\}\)
\(\Rightarrow x=36\)
Khi đó \(1+2+3+...+36=\dfrac{36.\left(36+1\right)}{2}=666\left(T/m\right)\)
Vậy \(x=36\)