\(1+\left(1+2\right)+\left(1+2+3\right)+...+\left(1+2+3+...+99\right)\\ =\dfrac{1\cdot2}{2}+\dfrac{2\cdot3}{2}+\dfrac{3\cdot4}{2}+...+\dfrac{99\cdot100}{2}\\ =\dfrac{1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+99\cdot100}{2}\)
Gọi \(S=1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+99\cdot100\)
\(3S=1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot3+3\cdot4\cdot3+...+99\cdot100\cdot3\\ 3S=1\cdot2\cdot\left(3-0\right)+2\cdot3\cdot\left(4-1\right)+3\cdot4\cdot\left(5-2\right)+...+99\cdot100\cdot\left(101-98\right)\\ 3S=1\cdot2\cdot3-0\cdot1\cdot2+2\cdot3\cdot4-1\cdot2\cdot3+3\cdot4\cdot5-2\cdot3\cdot4+...+99\cdot100\cdot101-98\cdot99\cdot100\\ 3S=99\cdot100\cdot101\\ S=\dfrac{99\cdot100\cdot101}{3}\\ S=333300\\ 1+\left(1+2\right)+\left(1+2+3\right)+...+\left(1+2+3+...+99\right)=\dfrac{333300}{2}\\ 1+\left(1+2\right)+\left(1+2+3\right)+...+\left(1+2+3+...+99\right)=166650\)