9.
\(\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow\) các tam giác ABC và ACD đều
Gọi M là trung điểm CD \(\Rightarrow AM\perp CD\Rightarrow CD\perp\left(SAM\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{SMA}\) là góc giữa (SCD) và đáy
\(\Rightarrow\widehat{SMA}=60^0\)
\(AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SA=AM.tan60^0=\dfrac{3a}{2}\)
\(V=\dfrac{1}{3}SA.2S_{ABC}=\dfrac{1}{3}\dfrac{3a}{2}.2.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=...\)
\(AB||CD\Rightarrow AB||\left(SCD\right)\Rightarrow d\left(AB;SC\right)=d\left(AB;\left(SCD\right)\right)=d\left(A;\left(SCD\right)\right)\)
Kẻ \(AH\perp SM\Rightarrow AH\perp\left(SCD\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SCD\right)\right)\)
\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AM^2}=\dfrac{16}{9a^2}\Rightarrow AH=\dfrac{3a}{4}\)
\(\Rightarrow d\left(AB;SC\right)=\dfrac{3a}{4}\)
10.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD)
\(\Rightarrow H\in AB\)
Ta có \(AB^2=SA^2+SB^2\Rightarrow\Delta SAB\) vuông tại S
Áp dụng hệ thức lượng:
\(\dfrac{1}{SH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{SB^2}\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(AM=\dfrac{1}{2}AB=a\Rightarrow S_{ADM}=\dfrac{1}{2}AD.AM=a^2\)
\(CN=\dfrac{1}{2}BC=a\Rightarrow S_{CDN}=\dfrac{1}{2}CN.CD=a^2\)
\(\Rightarrow S_{BMDN}=S_{ABCD}-\left(S_{ADM}+S_{CDN}\right)=4a^2-\left(a^2+a^2\right)=2a^2\)
\(\Rightarrow V_{S.BMDN}=\dfrac{1}{3}SH.S_{BMDN}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt[]{3}}{2}.2a^2=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{3}\)
