Bài tập cuối chương IV

Cách 1:

Gọi tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là (x; y).

Ta có: \(|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).

Đặt \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a \)

\( \Rightarrow \overrightarrow i  = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.(x;y) = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }};\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)\)

\( \Rightarrow |\overrightarrow i |\, = \sqrt {{{\left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}}  = 1\)

Mặt khác:

 \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a  = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.\overrightarrow a \) và \(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} > 0\) với mọi \(x,y \ne 0\)

Do đó vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng.

Vậy \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).

Cách 2:

Với mọi vectơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \), ta có:  \(|\overrightarrow a |\; > 0 \Rightarrow k = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}} > 0\). Đặt \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a  = k.\overrightarrow a \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow |\overrightarrow i |\, = \;|k.\overrightarrow a |\; = \;|k|.|\overrightarrow a |\;\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {\,i} \,} \right| = k.|\overrightarrow a |\; = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.|\overrightarrow a | = 1\end{array}\)

Mặt khác: \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a  = k.\overrightarrow a \) và \(k > 0\)

Do đó vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng.

Vậy \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).

Tham khảo:

a) Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A, B, C sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ;\;\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b ;\;\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow u \)

Trên hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j  = \overrightarrow b \), lấy M, N là hình chiếu của C trên Ox, Oy.

Gọi tọa độ của \(\overrightarrow u \)là \(\left( {x;y} \right)\). Đặt \(\alpha  = \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow a } \right)\).

+) Nếu \({0^o} < \alpha  < {90^o}\): \(x = OM = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha  = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha .\;|\overrightarrow a |\; = \overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\)

+) Nếu \({90^o} < \alpha  < {180^o}\): \(x =  - OM = \; - |\overrightarrow u |.\cos ({180^o} - \alpha ) = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha \; = \overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\)

Như vậy ta luôn có: \(x = \overrightarrow u .\overrightarrow a \)

Chứng minh tương tự, ta có: \(y = \overrightarrow u .\overrightarrow b \)

Vậy vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)

b) Trong hệ trục Oxy với các vectơ vectơ đơn vị \(\overrightarrow i  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j  = \overrightarrow b \), vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow u  = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow i  + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow j \\ \Leftrightarrow \overrightarrow u  = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow a  + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow b \end{array}\)

Tham khảo:

Lấy các điểm: A, C sao cho:

Vectơ vận tốc dòng nước\(\overrightarrow {{v_n}}  = \overrightarrow {OA} \)

Vectơ vận tốc chuyển động \(\overrightarrow {{v_{cano}}}  = \overrightarrow {OC} \)

Ta có: \(\overrightarrow {{v_{cano}}}  = \overrightarrow {{v_n}}  + \overrightarrow v \), với \(\overrightarrow v \) là vectơ vận tốc riêng của cano.

Gọi B là điểm sao cho \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {OB} \) thì OACB là hình bình hành.

Vì tàu chuyển động theo hướng \(S{15^o}E\) nên vectơ \(\overrightarrow {OC} \) tạo với hướng Nam (tia OS) góc \({15^o}\) và tạo với hướng Đông (tia OE) góc \({90^o} - {15^o} = {75^o}\).

Mà nước trên sông chảy về hướng đông nên vectơ \(\overrightarrow {OA} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {OE} \)

Do đó góc tạo bởi vectơ \(\overrightarrow {OC} \) và vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là \({75^o}\)

Xét tam giác OAC ta có:

\(OA = \;|\overrightarrow {{v_n}} |\; = 3\); \(OC = \;|\overrightarrow {{v_{cano}}} |\; = 20\) và \(\widehat {AOC} = {75^o}\)

Áp dụng định lí cosin tại đỉnh O ta được:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} - 2.OA.OC.\cos \widehat {AOC}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {3^2} + {20^2} - 2.3.20.\cos {75^o} \approx 378\\ \Leftrightarrow OB = AC \approx 19,44\end{array}\)

Vậy vận tốc riêng của cano là 19,44 km/h