Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

a) Tam giác ABC vuông tại A, ta có

\(\sin \widehat B = \cos \widehat C = \frac{b}{a};\cos \widehat B = \sin \widehat C = \frac{c}{a}\)

b) Ta có: \(\sin \widehat B = \cos \widehat C = \frac{b}{a}\) nên \(b = a.\sin \widehat B = a.\cos \widehat C\)

\(\cos \widehat B = \sin \widehat C = \frac{c}{a}\) nên \(c = a.\cos \widehat B = a.\sin \widehat C\)

a) Chân thang cách tường một khoảng là \(3.\cos {65^0} \approx 1,27\) m

Vậy cần đặt chân thang cách tường một khoảng là 1,27 m.

b) Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{250}}{{320}}\) nên \(\alpha  \approx {38^0}37'\)

Vậy dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc \({38^0}37'\)

a) Tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\(\tan \widehat B = \cot \widehat C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{b}{c}\)

\(\cot \widehat B = \tan \widehat C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\)

b) Ta có \(\tan \widehat B = \cot \widehat C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{b}{c}\) nên \(b = c.\tan \widehat B = c.\cot \widehat C\)

Ta có \(\cot \widehat B = \tan \widehat C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\) nên \(c = b.\cot \widehat B = b.\tan \widehat C\)

Ta có: 25m = 250dm

Chiều cao của cây là \(250.\tan {40^0} \approx 210\) (dm).

Vậy chiều cao của cây khoảng 210dm.

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(B{C^2} = {\rm{A}}{{\rm{B}}^2} + A{C^2}\) (Định lý Pythagore)

Thay số ta có: \({8^2} = {4^2} + A{C^2}\) hay \(A{C^2} = {8^2} - {4^2} = 48\) suy ra \(AC = \sqrt {48}  = 4\sqrt 3 \approx 6,928 \)

Ta có: \(\cos \widehat B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\widehat B = {60^0}\)

\(\sin \widehat C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\widehat C = {30^0}\)

1.  Trường hợp biết \(AB = c,AC = b\)

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(\tan \widehat B = \frac{b}{c}\) từ đó ta tính được góc B, và tính được góc C thông qua định lý tổng ba góc trong một tam giác. Sau khi tính được góc B, ta dùng tỉ số lượng giác \(\cos \widehat B = \frac{c}{{CB}}\) từ đó ta tính được \(CB = \frac{c}{{\cos \widehat B}}\)

Trường hợp \(AB = c,BC = a\)

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(\cos \widehat B = \frac{b}{c}\) từ đó ta tính được góc B, và tính được góc C thông qua định lý tổng ba góc trong một tam giác. Sau khi tính được góc B, ta dùng tỉ số lượng giác \(\tan \widehat B = \frac{{AC}}{c}\) từ đó ta tính được \(AC = c.\tan \widehat B\)

2. Tam giác ABC vuông tại A khi biết cạnh góc vuông AB (hoặc cạnh huyền BC) và góc B.

Trường hợp biết cạnh góc vuông AB và góc B

Biết góc B ta tính được góc C thông qua định lý tổng ba góc trong một tam giác. Để tính cạnh BC ta dùng tỉ số lượng giác \(\cos \widehat B = \frac{c}{{BC}}\) từ đó ta tính được \(BC = \frac{c}{{\cos \widehat B}}\) và tỉ số lượng giác \(\tan \widehat B = \frac{{AC}}{c}\) từ đó ta tính được \(AC = c.\tan \widehat B\)

Trường hợp biết cạnh huyền BC và góc B

Biết góc B ta tính được góc C thông qua định lý tổng ba góc trong một tam giác. Để tính cạnh AB ta dùng tỉ số lượng giác \(\cos \widehat B = \frac{{AB}}{a}\) từ đó ta tính được \(AB = a.\cos \widehat B\) và tỉ số lượng giác \(\sin \widehat B = \frac{{AC}}{a}\) từ đó ta tính được \(AC = a.\sin \widehat B\)

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(\cos \widehat C = \frac{{AC}}{{BC}}\) hay \(\cos {53^0} = \frac{{AC}}{9}\) suy ra \(AC = 9.\cos {53^0} \approx 5,42\)

\(\sin \widehat C = \frac{{AB}}{{BC}}\) hay \(\sin {53^0} = \frac{{AB}}{9}\) suy ra \(AB = 9.\sin {53^0} \approx 7,19\)

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) nên \({90^0} + \widehat B + {53^0} = {180^0}\) suy ra \(\widehat B = {37^0}.\)

Ta có: \(\tan \alpha  = \frac{{P'H}}{{M'H}}\) hay \(P'H = M'H.\tan {27^0}\)

\(\tan \beta  = \frac{{P'H}}{{N'H}}\) hay \(P'H = N'H.\tan {19^0}\)

Từ đó ta có phương trình: \(M'H.\tan {27^0} = N'H.\tan {19^0}\)

hay \(M'H.\tan {27^0} = \left( {M'H + 20} \right).\tan {19^0}\)

suy ra \(M'H.\left( {\tan {{27}^0} - \tan {{19}^0}} \right) = 20.\tan {19^0}\)

nên \(M'H = \frac{{20.\tan {{19}^0}}}{{\left( {\tan {{27}^0} - \tan {{19}^0}} \right)}} \approx 41,69\) m

\(P'H = M'H.\tan {27^0} \approx 21,24\) m

Chiều cao của tòa lâu đài khoảng: \(21,24 + 1,6 = 22,84\) m.

a) \(a = 21,b = 18;\)

Tam giác ABC vuông tại A, ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) (định lý Pythagore)

Thay số ta có: \(A{B^2} + {18^2} = {21^2}\) hay \(AB = \sqrt {{{21}^2} - {{18}^2}}  = 3\sqrt {13} \) (vì \(AB > 0\))

Ta có \(\sin \widehat B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{18}}{{21}} = \frac{6}{7}\) nên \(\widehat B \approx {59^0}\)

Mà \(\widehat B + \widehat C = {90^0}\) nên \(\widehat C = {90^0} - \widehat B \approx {90^0} - {59^0} = {31^0}\)

b) \(b = 10,\widehat C = {30^0};\)

Tam giác ABC vuông tại A, ta có \(\tan \widehat C = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(\tan {30^0} = \frac{{AB}}{{10}}\) suy ra \(AB = 10.{{\tan {{30}^0}}} = \frac{10\sqrt 3}{3} \)

\(\cos \widehat C = \frac{{AC}}{{BC}}\) hay \(\cos{30^0} = \frac{{10}}{{BC}}\) suy ra \(BC = \frac{{10}}{{\cos {{30}^0}}} = \frac{{20\sqrt 3}}{{3}}\)

Mà \(\widehat B + \widehat C = {90^0}\) nên \(\widehat C = {90^0} - \widehat B = {90^0} - {30^0} = {60^0}\)

c) \(c = 5,b = 3.\)

Tam giác ABC vuông tại A, ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) (định lý Pythagore)

Thay số ta có: \(B{C^2} = {5^2} + {3^2} = 34\) hay \(BC = \sqrt {34} \) (vì \(BC > 0\))

Ta có \(\sin \widehat B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{3}{{\sqrt {34} }}\) nên \(\widehat B \approx {31^0}\)

Mà \(\widehat B + \widehat C = {90^0}\) nên \(\widehat C = {90^0} - \widehat B \approx {90^0} - {31^0} = {59^0}\)