Bài 11. Hình thang cân

Vì ABCD là hình thang cân nên \(\widehat {DAB} = \widehat {ABC};\widehat C = \widehat D;A{\rm{D}} = BC\)

Theo đề bài, ta có AE, BE lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {BA{\rm{D}}}\) và \(\widehat {ABC}\)

Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}};\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\)

Mà \(\widehat {DAB} = \widehat {ABC}\) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\)

Xét ∆ADE và ∆BCE có:

\(\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_2}}\) (chứng minh trên)

AD = BC (chứng minh trên)

\(\widehat {{D}} = \widehat {{C}}\) (chứng minh trên)

Do đó ∆ADE = ∆BCE (g.c.g).

Suy ra EC = ED (hai cạnh tương ứng).

Gọi O là giao điểm của AB và IJ.

Vì ABCD là hình thang cân nên \(\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {ABC};\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BC{\rm{D}}};A{\rm{D}} = BC, AC = BD\)

Tam giác ICD cân tại I (vì \(\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BC{\rm{D}}}\)) nên IC = ID.

Xét tam giác ABD và BAC có:

AB chung

AD = BC (cmt)

AC = BD (cmt)

=> ∆ABD = ∆BAC (c.c.c) => \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {BC{\rm{A}}}\)

Vì \(\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BC{\rm{D}}};\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {BC{\rm{A}}}\) nên \(\widehat {J{\rm{D}}C} = \widehat {JC{\rm{D}}}\)

Tam giác JCD cân tại J (vì \(\widehat {J{\rm{D}}C} = \widehat {JC{\rm{D}}}\) ) nên JC = JD.

Xét ∆IJD và ∆IJC có:

IC = ID (chứng minh trên);

\(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {BC{\rm{A}}}\);

JC = JD (chứng minh trên).

Do đó ∆IJD = ∆IJC (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {D{\rm{IJ}}} = \widehat {C{\rm{IJ}}}\) (hai góc tương ứng).

Ta có ID = IC, AD = BC.

Mà ID = AI + AD; IC = IB + BC nên IA = IB.

Tam giác IAB cân tại I (vì IA = IB) có IO là tia phân giác \(\widehat {AIB}\)

Suy ra IO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vậy đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do \(\widehat{A}+\widehat{D}=120^o+60^o=180^o\) 

\(\Rightarrow AB//CD\)

\(\Rightarrow\) ABCD là hình thang.