d):

\(\dfrac{2x^2-9x+7}{-2x^2-x+28}\)

\(=\dfrac{2x^2-2x-7x+7}{-2x^2-8x+7x+28}\)

\(=\dfrac{2x\left(x-1\right)-7\left(x-1\right)}{-2x\left(x+4\right)+7\left(x+4\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-1\right)\left(2x-7\right)}{\left(x+4\right)\left(-2x+7\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-1\right)\left(2x-7\right)}{\left(-x-4\right)\left(2x-7\right)}\)

\(=-\dfrac{x-1}{x+4}\)

e):

\(\dfrac{x^3+3x^2-2}{x^3+3x+4}\)

\(=\dfrac{x^3+x^2+2x^2-2}{x^3-x+4x+4}\)

\(=\dfrac{x^2\left(x+1\right)+2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)+4\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+2x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+4\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+2x-2}{x^2-x+4}\)

2/

\(x^3-2x+1=0\)

\(\Rightarrow x^3-x-x+1=0\)

\(\Rightarrow x\left(x^2-1\right)-\left(x-1\right)=0\)

\(\Rightarrow x\left(x-1\right)\left(x+1\right)-\left(x-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)\)

\(\Rightarrow x=1\)

Vậy S = {1}

a)

\(\dfrac{x^3+2x^2-x-2}{x^3-3x+2}\)

\(=\dfrac{x^2\left(x+2\right)-\left(x+2\right)}{x^3-4x+x+2}\)

\(=\dfrac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x\left(x^2-4\right)+\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)+\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)^2}\)

\(=\dfrac{x+1}{x-1}\)

b):

\(\dfrac{3x^2-7xy+4y^2}{2x^2+2xy-4y^2}\)

\(=\dfrac{3x^2-3xy-4xy+4y^2}{2x^2-2xy+4xy-4y^{ 2}}\)

\(=\dfrac{3x\left(x-y\right)-4y\left(x-y\right)}{2x\left(x-y\right)+4y\left(x-y\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-y\right)\left(3x-4y\right)}{\left(x-y\right) \left(2x+4y\right)}\)

\(=\dfrac{3x-4y}{2x+4y}\)

c):

\(\dfrac{x^2+5x}{2x+10}\)

\(=\dfrac{x\left(x+5\right)}{2\left(x+5\right)}\)

\(=\dfrac{x}{2}\)

\(a\)

\(\Delta ABC\) vuông tại A có :

\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

\(\Delta ABH\) vuông tại H có :

\(\widehat{HAB}+\widehat{B}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{C}\) ^{\(\left(2\right)\)}

\(Xét\) \(\Delta ABC\) vuông tại A có :

Có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC (gt)

\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC\) ( trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1 nửa cạnh huyền )

\(\Rightarrow AM=CM\)

\(\Rightarrow\Delta ACM\) cân tại M

\(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{MAC}\) ^{\(\left(2\right)\)} ( 2 góc đáy)

\(Từ\) \(^{\left(1\right)}và^{\left(2\right)}\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{MAC}\left(đpcm\right)\)

\(b\ \)

Gọi giao điểm của AH và DE là I , giao điểm của AM và DE là K

TỨ giác ADHE có :

\(\cdot\) AH ⊥BC ( AH là đường cao)

\(\cdot\) HE ⊥ AC ( E là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AC)

\(\cdot HD\perp AB\) ( D là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB)

\(\Rightarrow ADHE\) là hình chữ nhật

Mà I là giao điểm của AH và DE

Theo tính chất hình chữ nhật

\(\Rightarrow I\) là trung điểm AH , DE và AH = DE

\(\Rightarrow AI=IE\)

\(\Rightarrow\Delta AIE\) cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{IAE}=\widehat{IEA}\) ( 2 góc đáy)

Mà đồng thời ta có \(^{\left(2\right)}\)

\(\Rightarrow\widehat{IEA}+\widehat{MAC}=\widehat{IAE}+\widehat{C}\)

Trong \(\Delta ACH\) vuông tại H có :

\(\widehat{IAE}+\widehat{C}=90^0\) ( trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)

\(\Rightarrow\widehat{IEA}+\widehat{MAC}=90^0\)

\(\Rightarrow AK\perp DE\) hay \(AM\perp DE\left(đpcm\right)\)

a)

Có \(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+yz+xz\right)\) ⁽¹⁾

Phân tích :

\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)

\(=x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2\)

\(=2\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left[-2\left(xy+yz+xz\right)\right]\)(Áp dung ⁽¹⁾ta được :)

\(=2\left(x^2+y^2+z^2\right)+x^2+y^2+z^2\)

\(=3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{3}\)

\(B=\dfrac{x^2\left(y-z\right)+y^2\left(z-x\right)+z^2\left(x-y\right)}{x^2y-x^2z+y^2z-y^3}\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{x^2\left(y-z\right)-y^2\left[\left(y-z\right)+\left(x-y\right)\right]+z^2\left(x-y\right)}{x^2\left(y-z\right)-y^2\left(y-z\right)}\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{\left(y-z\right)\left(x^2-y^2\right)-\left(x-y\right)\left(y^2-z^2\right)}{\left(y-z\right)\left(x^2-y^2\right)}\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{\left(y-z\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)-\left(x-y\right)\left(y+z\right)\left(y-z\right)}{\left(y-z\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{\left(y-z\right)\left(x-y\right)\left(x+y-y-z\right)}{\left(y-z\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{\left(y-z\right)\left(x-y\right)\left(x-z\right)}{\left(y-z\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{x-z}{x+y}\)

a)

Xét △ADK và Δ ABF có :

AD = AB (hình vuông ABCD)

DK = BF (gt)

\(\widehat{ADK}=\widehat{ABF}=90độ\) \(\left(hìnhvuôngABCD\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ADK=\Delta ABF\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AK=AF\) ( 2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\widehat{EAK}=\widehat{EAF}\) \(=45độ\) ( 2 góc tương ứng )

\(\Rightarrow\widehat{EAK}+\widehat{EAF}=90độ\)

\(\Rightarrow AK\perp AF\)

b)

Xét \(\Delta EAK\) và \(\Delta EAF\) có :

AK = AF (cmt)

\(\widehat{EAK}=\widehat{EAF}\left(cmt\right)\)

AE là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta EAK=\Delta EAF\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow EK=EF\) ( 2 cạnh tương ứng )

c)

chu vi ΔCEF

= CE + CF + EF

= CE + CF + EK ( vì EF=EK)

= CE+CF+ED+DK

= CE + CF + ED + BF ( vì BF = DK)

\(\Rightarrow\) chu vi tam giác CEF bằng nửa chu vi hình vuông ABCD)