Bài 24. So sánh phân số. Hỗn số dương

1. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN SỐ

Để quy đồng mẫu hai hay nhiều phân số có mẫu dương, ta làm như sau:

1. Tìm một bội chung (thường là BCNN) của các mẫu để làm mẫu chung.
2. Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu.
3. Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

Lưu ý. Với các phân số có mẫu âm, ta viết lại thành các phân số mới bằng nó nhưng có mẫu dương.

Ví dụ. Quy đồng mẫu các phân số sau:

a) \(\dfrac{5}{12};\dfrac{-3}{8}\);

b) \(\dfrac{-4}{9};\dfrac{-3}{5};\dfrac{11}{-3}\).

Giải:

a) 

• Tìm mẫu chung: BCNN(12; 8) = 24;
• Tìm thừa số phụ: 24 : 12 = 2; 24 : 8 = 3;
• Ta có: \(\dfrac{5}{12}=\dfrac{5\cdot2}{12\cdot2}=\dfrac{10}{24};\dfrac{-3}{8}=\dfrac{\left(-3\right).3}{8\cdot3}=\dfrac{-9}{24}.\)

Vậy quy đồng mẫu các phân số \(\dfrac{5}{12}\) và \(\dfrac{-3}{8}\) ta được hai phân số \(\dfrac{10}{24}\) và \(\dfrac{-9}{24}\).

b) 

• Đưa về phân số có mẫu dương: \(\dfrac{11}{-3}=\dfrac{11\cdot\left(-1\right)}{\left(-3\right)\cdot\left(-1\right)}=\dfrac{-11}{3}\).
• Tìm mẫu chung: BCNN(9; 5; 3) = 45.
• Tìm thừa số phụ: 45 : 9 = 5; 45 : 5 = 9; 45 : 3 = 15.
• Ta có: \(\dfrac{-4}{9}=\dfrac{\left(-4\right)\cdot5}{9\cdot5}=\dfrac{-20}{45}\); \(\dfrac{-3}{5}=\dfrac{\left(-3\right)\cdot9}{5\cdot9}=\dfrac{-27}{45}\); \(\dfrac{11}{-3}=\dfrac{-11}{3}=\dfrac{\left(-11\right)\cdot15}{3\cdot15}=\dfrac{-165}{45}\).

Vậy quy đồng mẫu các phân số \(\dfrac{-4}{9};\dfrac{-3}{5};\dfrac{11}{-3}\) ta được các phân số \(\dfrac{-20}{45};\dfrac{-27}{45};\dfrac{-165}{45}\).

2. SO SÁNH HAI PHÂN SỐ

So sánh hai phân số cùng mẫu

Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ví dụ. So sánh các phân số sau:

a) \(\dfrac{26}{65}\) và \(\dfrac{-38}{65}\);

b) \(\dfrac{5}{28}\) và \(\dfrac{19}{28}\).

Giải:

a) Vì 26 > - 38 nên \(\dfrac{26}{65}>\dfrac{-38}{65}\).

b) Vì 5 < 19 nên \(\dfrac{5}{28}< \dfrac{19}{28}\).

So sánh hai phân số không cùng mẫu

Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ví dụ. So sánh các phân số sau:

a) \(\dfrac{-29}{78}\) và \(\dfrac{-11}{24}\);

b) \(\dfrac{8}{15}\) và \(\dfrac{9}{20}\).

c) \(\dfrac{-67}{125}\) và \(\dfrac{34}{81}\).

Giải:

a) BCNN(78; 24) = 312 nên ta có:

• \(\dfrac{-29}{78}=\dfrac{\left(-29\right)\cdot4}{78\cdot4}=\dfrac{-116}{312}\); 
• \(\dfrac{-11}{24}=\dfrac{\left(-11\right)\cdot13}{24\cdot13}=\dfrac{-143}{312}\).

Vì - 116 > - 143 nên \(\dfrac{-116}{312}>\dfrac{-143}{312}\). Do đó\(\dfrac{-29}{78}>\dfrac{-11}{24}\).

b) BCNN(15; 20) = 60 nên ta có:

• \(\dfrac{8}{15}=\dfrac{8\cdot4}{15\cdot4}=\dfrac{32}{60}\);
• \(\dfrac{9}{20}=\dfrac{9\cdot3}{20\cdot3}=\dfrac{27}{60}\).

Vì 32 > 27 nên \(\dfrac{32}{60}>\dfrac{27}{60}\). Do đó \(\dfrac{8}{15}>\dfrac{9}{20}\).

 c) Vì \(\dfrac{-67}{125}\) < 0; \(\dfrac{34}{81}\) > 0 nên \(\dfrac{-67}{125}\) < \(\dfrac{34}{81}\).

3. HỖN SỐ DƯƠNG

Ta viết phân số \(\dfrac{5}{4}\) dưới dạng tổng \(\dfrac{5}{4}=1+\dfrac{1}{4}\) và viết gọn là \(\dfrac{5}{4}=1\dfrac{1}{4}\).

\(1\dfrac{1}{4}\) được gọi là một hỗn số (dương), trong đó 1 là phần nguyên, \(\dfrac{1}{4}\) là phần phân số.

Hỗn số \(1\dfrac{1}{4}\) đọc là: "Một một phần bốn".

Muốn viết một phân số (lớn hơn 1), chẳng hạn \(\dfrac{17}{5}\) dưới dạng hỗn số ta làm như sau:

Thực hiện phép chia 17 cho 5, được thương là 3, số dư là 2.

Khi đó ta có: \(\dfrac{17}{5}=3+\dfrac{2}{5}=3\dfrac{2}{5}\) với phần nguyên là 3, phần phân số là \(\dfrac{2}{5}\).

Để đưa một hỗn số dương \(a\dfrac{b}{c}\) về dạng phân số ta làm như sau: \(a\dfrac{b}{c}=a+\dfrac{b}{c}=\dfrac{ac+b}{c}\).

Chẳng hạn: \(4\dfrac{2}{7}=4+\dfrac{2}{7}=\dfrac{4\cdot7+2}{7}=\dfrac{30}{7}\).

Lưu ý: Phần phân số của hỗn số luôn nhỏ hơn 1.

Ví dụ 1. Viết các phân số sau dưới dạng hỗn số: \(\dfrac{35}{8};\dfrac{48}{19}\).

Giải:

• \(\dfrac{35}{8}=\dfrac{4\cdot8+3}{8}=4+\dfrac{3}{8}=4\dfrac{3}{8}\).
• \(\dfrac{48}{19}=\dfrac{2\cdot19+10}{19}=2+\dfrac{10}{19}\).

Ví dụ 2. Viết các hỗn số sau dưới dạng phân số: \(3\dfrac{3}{5};1\dfrac{5}{8}\).

Giải:

• \(3\dfrac{3}{5}=3+\dfrac{3}{5}=\dfrac{3\cdot5+3}{5}=\dfrac{18}{5}\).
• \(1\dfrac{5}{8}=1+\dfrac{5}{8}=\dfrac{1\cdot8+5}{8}=\dfrac{13}{8}\).