Bài 23. Mở rộng phân số. Phân số bằng nhau

1. MỞ RỘNG KHÁI NIỆM PHÂN SỐ

Với \(a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\), ta gọi \(\frac {a} {b}\) là một phân số, trong đó \(a\) là tử số (tử) và \(b\) là mẫu số (mẫu) của phân số.

Chẳng hạn, \(\dfrac{-4}{5};\dfrac{12}{-7};\dfrac{6}{11}\); ... là các phân số.

Ví dụ 1. Trong các cách viết sau, cách viết nào cho ta một phân số? Đọc các phân số đó và cho biết tử và mẫu của chúng.

\(\dfrac{-5,6}{10};\dfrac{9}{-0,5};\dfrac{6}{-23};\dfrac{15}{0};\dfrac{8}{25}\)

Giải:

Các cách viết cho ta phân số là: \(\dfrac{6}{-23};\dfrac{8}{25}\).

Phân số \(\dfrac{6}{-23}\) đọc là sáu phần âm hai mươi ba; có tử số là 6 và mẫu số là - 23.

Phân số \(\dfrac{8}{25}\) đọc là tám phần hai mươi lăm; có tử số là 8 và mẫu số là 25.

Lưu ý. Mọi số nguyên đều có thể viết dưới dạng phân số. 

2. HAI PHÂN SỐ BẰNG NHAU

Ví dụ 1. Viết phân số biểu thị phần tô màu trong hai hình vẽ sau.

Viết phân số biểu thị phần tô màu trong hình trên. Dựa vào hình vẽ, hãy so sánh các phân số vừa nhận được

Giải:

Phân số biểu thị phần tô màu ở Hình 1 là \(\dfrac{9}{12}\).

Phân số biểu thị phần tô màu ở Hình 2 là \(\dfrac{3}{4}\).

Từ hình vẽ, ta thấy phần tô màu ở các hình là như nhau. Do đó ta có \(\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\).

Nhận xét: Hai phân số bằng nhau có cùng giá trị.

Quy tắc bằng nhau của hai phân số

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) nếu \(a.d=b.c\).

Ví dụ 1. Trong các cặp phân số sau, cặp phân số nào bằng nhau?

a) \(\dfrac{25}{-20}\) và \(\dfrac{-5}{4}\);

b) \(\dfrac{4}{-7}\) và \(\dfrac{4}{7}\);

c) \(\dfrac{8}{10}\) và \(\dfrac{-4}{-5}\).

Giải:

a) Hai phân số  \(\dfrac{25}{-20}\) và \(\dfrac{-5}{4}\) bằng nhau vì 25.4 = (- 20).(- 5) (cùng bằng 100).

b) Hai phân số \(\dfrac{4}{-7}\) và \(\dfrac{4}{7}\) không bằng nhau vì 4.7 ≠ (- 7).4.

c) Hai phân số \(\dfrac{8}{10}\) và \(\dfrac{-4}{-5}\) bằng nhau vì 8.(- 5) = 10.(- 4) (cùng bằng - 40).

3. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ

Tính chất cơ bản của phân số

   1. Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot m}{b\cdot m}\) với \(m \in \mathbb{Z}, m \neq 0\).

   2. Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a:n}{b:n}\) với \(n\) là ước chung của \(a\) và \(b\).

Ví dụ 1.

a) \(\dfrac{4}{-7}=\dfrac{4\cdot4}{\left(-7\right)\cdot4}=\dfrac{16}{-28}\);

b) \(\dfrac{-12}{36}=\dfrac{\left(-12\right):12}{36:12}=\dfrac{-1}{3}\).

Chú ý. 

• Mọi phân số đều có thể viết được dưới dạng phân số có mẫu dương.

Chẳng hạn: \(\dfrac{5}{-8}=\dfrac{5\cdot\left(-1\right)}{\left(-8\right)\cdot\left(-1\right)}=\dfrac{-5}{8}\);  \(\dfrac{-15}{-26}=\dfrac{\left(-15\right)\cdot\left(-1\right)}{\left(-26\right)\cdot\left(-1\right)}=\dfrac{15}{26}\).

• Người ta thường dùng tính chất 2 để rút gọn phân số.
• Phân số tối giản là phân số mà cả tử và mẫu đều không có ước chung nào khác 1 và - 1.

Ví dụ 2. Rút gọn các phân số sau về phân số tối giản: \(\dfrac{54}{-27};\dfrac{-24}{72};\dfrac{-21}{-56}\).

Giải:​

• ƯCLN(54; - 27) = 27. Do đó \(\dfrac{54}{-27}=\dfrac{54:27}{\left(-27\right):27}=\dfrac{2}{-1}\).
• ƯCLN(- 24; 72) = - 24. Do đó \(\dfrac{-24}{72}=\dfrac{\left(-24\right):24}{72:24}=\dfrac{-1}{3}\).
• ƯCLN(- 21; - 56) = 7. Do đó \(\dfrac{-21}{-56}=\dfrac{\left(-21\right):7}{\left(-56\right):7}=\dfrac{-3}{-8}=\dfrac{3}{8}\).

Nhận xét: Để rút gọn một phân số chưa tối giản về phân số tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng.