Bài 2: Giới hạn của hàm số

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

Cho khoảng \(K\) chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\backslash\left\{x_0\right\}\).

Ta nói hàm số \(y=f\left(x\right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\) dần tới \(x_0\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(x_n\in K\backslash\left\{x_0\right\}\) và \(x_n\rightarrow x_0\), ta có \(f\left(x_n\right)\rightarrow L\).

Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=L\) hay \(f\left(x\right)\rightarrow L\) khi \(x\rightarrow x_0\).

Ví dụ 1: Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2-4}{x+2}\). Chứng minh rằng \(\lim\limits_{x\rightarrow-2}f\left(x\right)=-4\).

Giải:

Hàm số đã cho xác định trên \(R\backslash\left\{-2\right\}\)

Giả sử \(\left(x_n\right)\) là một dãy số bất kì thoả mãn \(x_n\ne-2\) và \(x_n\rightarrow-2\) khi \(n\rightarrow+\infty\).

Ta có:

\(\lim\limits f\left(x_n\right)=\lim\limits\dfrac{x_n^2-4}{x_n+2}=\lim\limits\dfrac{\left(x_n-2\right)\left(x_n+2\right)}{x_n+2}=\lim\limits\left(x_n-2\right)=-4\)

Do đó \(\lim\limits_{x\rightarrow-2}f\left(x\right)=-4\).

Lưu ý rằng, mặc dù \(f\left(x\right)\) không xác định tại \(x=-2\), nhưng hàm số lại có giới hạn là \(-4\) khi \(x\rightarrow-2\).

Nhận xét: \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}x=x_0\)  ;  \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}c=c\), với \(c\) là hằng số.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Giả sử \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=L\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g\left(x\right)=M\). Khi đó:

     \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=L+M\) ;

     \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=L-M\) ;

     \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]=L.M\) ;

     \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\dfrac{L}{M}\) (nếu \(M\ne0\)).

b) Nếu \(f\left(x\right)\ge0\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=L\), thì

     \(L\ge0\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}\).

(Dấu của \(f\left(x\right)\) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với \(x\ne x_0\))

Ví dụ 2: Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}}\). Tìm \(\lim\limits_{x\rightarrow3}f\left(x\right)\).

Giải:

\(\lim\limits_{x\rightarrow3}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow3}(x^2+1)}{\lim\limits_{x\rightarrow3}2\sqrt{x}}\)

               \(=\dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow3}x^2+\lim\limits_{x\rightarrow3}1}{\lim\limits_{x\rightarrow3}2.\lim\limits_{x\rightarrow3}\sqrt{x}}=\dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow3}x.\lim\limits_{x\rightarrow3}x+\lim\limits_{x\rightarrow3}1}{\lim\limits_{x\rightarrow3}2.\sqrt{\lim\limits_{x\rightarrow3}x}}\)

               \(=\dfrac{3.3+1}{2.\sqrt{3}}=\dfrac{5}{\sqrt{3}}\).

Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow3}f\left(x\right)=\dfrac{5}{\sqrt{3}}\).

Ví dụ 3: Tính \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^2+x-2}{x-1}\).

Giải:

Vì \(\left(x-1\right)\rightarrow0\) khi \(x\rightarrow1\) nên ta chưa thể áp dụng định lí trên.

Như với \(x\ne1\) ta có \(\dfrac{x^2+x-2}{x-1}=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x-1}=x+2\)

Do đó \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^2+x-2}{x-1}\)\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(x+2\right)=3\).

Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^2+x-2}{x-1}=3\).

3. Giới hạn một bên

- Định nghĩa:

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng \(\left(x_0;b\right)\).

Số \(L\) được gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y=f\left(x\right)\) khi \(x\rightarrow x_0\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(x_0< x_n< b\) và \(x_n\rightarrow x_0\), ta có \(f\left(x_n\right)\rightarrow L\).

Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f\left(x\right)=L\).

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng \(\left(a;x_0\right)\).

Số \(L\) được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y=f\left(x\right)\) khi \(x\rightarrow x_0\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(a< x_n< x_0\) và \(x_n\rightarrow x_0\), ta có \(f\left(x_n\right)\rightarrow L\).

Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f\left(x\right)=L\).

- Ta thừa nhận định lí:

\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=L\) khi và chỉ khi \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f\left(x\right)=\)\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f\left(x\right)=L\).

Ví dụ 4: Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}5x+2\left(x\ge1\right)\\x^2-3\left(x< 1\right)\end{matrix}\right.\).

             Tìm \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)\), \(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)\) (nếu có).

Giải:

Ta có \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(x^2-3\right)=1^2-3=-2\)

          \(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(5x+2\right)=5.1+2=7\)

Do \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)\)\(\ne\)\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)\) nên \(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)\) không tồn tại.

II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

- Định nghĩa:

a) Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) được xác định trên khoảng \(\left(a;+\infty\right)\).

    Ta nói hàm số \(y=f\left(x\right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\rightarrow+\infty\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(x_n>a\) và \(x_n\rightarrow+\infty\), ta có \(f\left(x_n\right)\rightarrow L\).

    Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=L\)  hay \(f\left(x\right)\rightarrow L\) khi \(x\rightarrow+\infty\).

b) Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) được xác định trên khoảng \(\left(-\infty;a\right)\).

    Ta nói hàm số \(y=f\left(x\right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\rightarrow-\infty\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(x_n< a\) và \(x_n\rightarrow-\infty\), ta có \(f\left(x_n\right)\rightarrow L\).

    Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=L\) hay \(f\left(x\right)\rightarrow L\) khi \(x\rightarrow-\infty\).

Ví dụ 5: Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{2x+3}{x-1}\). Tìm \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)\).

Giải:

Hàm số đã cho xác định trên \(\left(-\infty;1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\).

Giả sử \(\left(x_n\right)\) là một dãy số bất kì, thoả mãn \(x_n< 1\) và \(x_n\rightarrow-\infty\).

Ta có \(\lim\limits f\left(x_n\right)=\lim\limits\dfrac{2x_n+3}{x_n-1}=\lim\limits\dfrac{2+\dfrac{3}{x_n}}{1-\dfrac{1}{x_n}}=2\)

Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x+3}{x-1}=2\).

Giả sử \(\left(x_n\right)\) là một dãy số bất kì, thoả mãn \(x_n>1\) và \(x_n\rightarrow+\infty\).

Ta có \(\lim\limits f\left(x_n\right)=\lim\limits\dfrac{2x_n+3}{x_n-1}=\lim\limits\dfrac{2+\dfrac{3}{x_n}}{1-\dfrac{1}{x_n}}=2\)

Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x+3}{x-1}=2\).

- Chú ý: 

    a) Với \(c,k\) là các hằng số và \(k\) nguyên dương, ta luôn có:

       \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}c=c\)  ;  \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}c=c\)  ;  \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{c}{x^k}=0\)  ;  \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{c}{x^k}=0\).

    b) Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số khi \(x\rightarrow x_0\) vẫn còn đúng khi \(x\rightarrow+\infty\) hoặc \(x\rightarrow-\infty\).

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng \(\left(a;+\infty\right)\).

Ta nói hàm số \(y=f\left(x\right)\) có giới hạn là \(-\infty\) khi \(x\rightarrow+\infty\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(x_n>a\) và \(x_n\rightarrow+\infty\),  ta nói \(f\left(x_n\right)\rightarrow-\infty\).

Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=-\infty\) hay \(f\left(x\right)\rightarrow-\infty\) khi \(x\rightarrow+\infty\).

Nhận xét: \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(-f\left(x\right)\right)=-\infty\).

2. Một vài giới hạn đặc biệt

    a) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^k=+\infty\) với \(k\) nguyên dương ;

    b) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^k=-\infty\) nếu \(k\) là số lẻ ;

    c) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^k=+\infty\) nếu \(k\) là số chẵn.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích \(f\left(x\right).g\left(x\right)\)

Nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=L\ne0\)  và \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g\left(x\right)=+\infty\) (hoặc \(-\infty\)) thì \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right).g\left(x\right)\) được tính dựa vào bảng:

 b) Quy tắc tìm giới hạn của thương \(\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\)