Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácMột phân thứ đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng \(\dfrac{P}{Q}\), trong đó P và Q là các đa thức, Q là đa thức khác 0.
P được gọi là tử thức (hay tử) và Q được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
Chú ý: Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, mỗi số thực cũng gọi là một phân thức đại số.
Ví dụ 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?
a) \(\dfrac{x+1}{x^2+3}\); b) \(\dfrac{x^2-y}{0}\); c) \(\dfrac{\dfrac{1}{x}}{3}\).
Hướng dẫn giải
a) Do x + 1 và x2 + 3 là các đa thức khác 0 nên biểu thức (a) là phân thức.
b) Do mẫu thức của biểu thức (b) bằng 0 nên (b) không là phân thức.
c) Do biểu thức \(\dfrac{1}{x}\) không phải đa thức nên biểu thức (c) không là phân thức.
2. Hai phân thức bằng nhau
Cho hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\).
Hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\) được gọi là bằng nhau, viết \(\dfrac{A}{B}\) = \(\dfrac{C}{D}\) nếu A.D = B.C.
Ví dụ 2: Cặp phân thức \(\dfrac{x}{2}\) và \(\dfrac{x^2-2x}{2x-4}\) có bằng nhau không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
Ta xét:
\(x(2x-4)=2x^2-4x\\ (x^2-2x).2=2x^2-4x.\)
Như vậy \(x(2x-4)=(x^2-2x).2\). Vậy \(\dfrac{x}{2}\) = \(\dfrac{x^2-2x}{2x-4}\) .
1. Tính chất cơ bản
+ Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\(\dfrac{P}{Q}=\dfrac{P.M}{Q.M}\) (với M là một đa thức khác đa thức 0).
+ Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\(\dfrac{P}{Q}=\dfrac{P:N}{Q:N}\) (với N là một đa thức khác đa thức 0).
Ví dụ 3: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy giải thích vì sao \(\dfrac{2.(y-x)}{x-y}=-2\)?
Hướng dẫn giải
Ta có
\(\dfrac{2.(y-x)}{x-y}=\dfrac{-2(x-y)}{x-y}=-2.\)
Chú ý: Nếu ta đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì ta được một phân thức bằng phân thức đã cho.
a) Rút gọn phân thức
Muốn rút gọn phân thức, ta làm theo các bước sau
Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần).
Bước 2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
Ví dụ 5: Rút gọn phân thức \(\dfrac{x-1}{x^2-1}\).
Hướng dẫn giải
\(\dfrac{x-1}{x^2-1}=\dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)}\) (phân tích tử và mẫu thành nhân tử)
\(=\dfrac{1}{x+1}\) (chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung x - 1).
b) Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
Để quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Phân tích mẫu của mỗi phân thức thành nhân tử rồi tìm MTC.
Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu).
Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Ví dụ 6: Quy đồng mẫu các phân thức \(\dfrac{x}{5x+5}\) và \(\dfrac{3y+1}{x^2-1}\).
Hướng dẫn giải
5x + 5 = 5(x + 1)
\(x^2-1=(x-1)(x+1)\)
Chọn MTC = 5(x - 1)(x + 1).
Vậy:
\(\dfrac{x}{5x+5}=\dfrac{x.(x-1)}{5(x+1)(x-1)}=\dfrac{x^2-x}{5(x+1)(x-1)}\).
\(\dfrac{3y+1}{x^2-1}=\dfrac{(3y+1).5}{(x^2-1).5}=\dfrac{15y+5}{5(x+1)(x-1)}\).
Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 được gọi là điều kiện để giá trị của phân thức được xác định.
Ví dụ 7: Tìm điều kiện để phân thức \(\dfrac{x+1}{x+2}\) xác định.
Hướng dẫn giải
Điều kiện để giá trị của phân thức \(\dfrac{x+1}{x+2}\) được xác định là \(x+2\ne0\) hay \(x\ne -2\).
Cho phân thức đại số \(\dfrac{P}{Q}\). Giá trị của biểu thức \(\dfrac{P}{Q}\) tại những giá trị cho trước của các biến để giá trị của mẫu thức khác 0 được gọi là giá trị của phân thức \(\dfrac{P}{Q}\) tại những giá trị cho trước của các biến đó.
Ví dụ 8: Tính giá trị của phân thức \(\dfrac{x+1}{x+2}\) tại x = 1.
Hướng dẫn giải
Giá trị của phân thức \(\dfrac{x+1}{x+2}\) tại x = 1 là \(\dfrac{1+1}{2+1}=\dfrac{2}{3}.\)
Nhận xét: Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của một phân thức được xác định thì phân thức đó và phân thức rút gọn của nó có cùng một giá trị.