Ta có : \(A=\dfrac{n+2}{n-5}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{n-5+7}{n-5}=\dfrac{n-5}{n-5}+\dfrac{7}{n-5}\)

\(\Rightarrow A=1+\dfrac{7}{n-5}\)

Để \(A\in Z\Leftrightarrow\dfrac{7}{n-5}\in Z\)

\(\Leftrightarrow\left(n-5\right)\inƯ\left(7\right)\) 

mà \(Ư\left(7\right)=\left(\pm1;\pm7\right)\)

\(\Rightarrow n\in\left(6;4;12;-2\right)\)

\(Vậy...\)

ss

Lời giải:

Ta có: \(A=\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{2a+3a^2+a^3}{6}\)

Xét tử số:

\(a^3+3a^2+2a=a(a^2+3a+2)\)

\(=a[a(a+2)+(a+2)]\)

\(=a(a+1)(a+2)\)

Vì $a,a+1$ là hai số nguyên liên tiếp nên

\(a(a+1)\vdots 2\Rightarrow a(a+1)(a+2)\vdots 2\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2+2a\vdots 2\) (1)

Mặt khác \(a,a+1,a+2\) là ba số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho $3$

\(\Leftrightarrow a(a+1)(a+2)\vdots 3\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2+2a\vdots 3\) (2)

Từ (1)(2) kết hợp với $(2,3)$ nguyên tố cùng nhau suy ra \(a^3+3a^2+2a\vdots 6\)

\(\Rightarrow A=\frac{a^3+3a^2+2a}{6}\in\mathbb{Z}\). Ta có đpcm.

a) \(\dfrac{n+2}{3}\) là số tự nhiên khi

\(n+2⋮3\)

\(\Rightarrow n+2\in\left\{1;3\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-1;1\right\}\left(n\in Z\right)\)

b)  \(\dfrac{7}{n-1}\) là số tự nhiên khi

\(7⋮n-1\)

\(\Rightarrow7n-7\left(n-1\right)⋮n-1\)

\(\Rightarrow7n-7n+7⋮n-1\)

\(\Rightarrow7⋮n-1\)

\(\Rightarrow n-1\in\left\{1;7\right\}\Rightarrow\Rightarrow n\in\left\{2;8\right\}\left(n\in Z\right)\)

c) \(\dfrac{n+1}{n-1}\) là sô tự nhiên khi

\(n+1⋮n-1\)

\(\Rightarrow n+1-\left(n-1\right)⋮n-1\)

\(\Rightarrow n+1-n+1⋮n-1\)

\(\Rightarrow2⋮n-1\)

\(\Rightarrow n-1\in\left\{1;2\right\}\Rightarrow n\in\left\{2;3\right\}\left(n\in Z\right)\)

Sam Tiểu Thư bn đăng câu hỏi sai nơi rồi nha