\(\widehat{B}=48^0\)

\(BC\simeq31,38\left(cm\right)\)

a: Xét ΔIMB vuông tại M và ΔIKC vuông tại K có

góc MIB=góc KIC

=>ΔIMB đồng dạng vơi ΔIKC

=>IM/IK=IB/IC

=>IM*IC=IB*IK

b: Xét ΔIMA vuông tạiM và ΔIEC vuông tại E có

góc MIA=góc EIC

=>ΔIMA đồng dạng với ΔIEC

=>IM/IE=IA/IC

=>IM*IC=IA*IE

c: Xét ΔAKI vuông tại K và ΔAEC vuông tại E có

góc KAI chung

=>ΔAKI đồng dạng với ΔAEC

=>AK/AE=AI/AC

=>AK*AC=AE*AI

d: Xet ΔAKB vuông tại K và ΔAMC vuông tại M có

góc KAB chung

=>ΔAKB đồng dạng với ΔAMC

=>AK/AM=AB/AC

=>AK*AC=AM*AB

a, Áp dụng Đ. L. py-ta-go vào tg ABC cân tại A, có:

BC²=AC²+AB²

=>15²=AC²+9²

     225=AC²+81

=>AC=225-81

         =144.

=>AC=12cm.

b, Xét tg ABM và tg NCM, có: 

MB=MC(M là trung điển của BC)

góc AMB= góc CMN(đối đỉnh)

AM=NM(gt)

=>tg ABM= tg NCM(c. g. c)

=>góc ABM= góc NCM(2 góc tương ứng)

c, Ta có: góc BAC+ góc DAC=180^o

                 =>góc DAC= 180^o- góc BAC 

                                   =180^o-90^o

                                   =90^o

Xét tg ACB và tg ACD, có: 

AB=AD(A là trung điểm của BC)

góc BAC = góc DAC(=90^o)

AC chung

=>tg ABC= tg ADC(2 cạnh góc vuông)

=>BC=DC(2 cạnh tương ứng)

=>tg CBD cân tại C(đpcm)

a: \(DF=\dfrac{EF^2}{IF}=15\left(cm\right)\)

1: y=(m+5)x+2m-10

=>(m+5)x-y+2m-10=0

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\dfrac{\left|0\cdot\left(m+5\right)+0\cdot\left(-1\right)+2m-10\right|}{\sqrt{\left(m+5\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\left|2m-10\right|}{\sqrt{\left(m+5\right)^2+1}}\)

Để d(O;(d))=1 thì \(\dfrac{\left|2m-10\right|}{\sqrt{\left(m+5\right)^2+1}}=1\)

=>\(\sqrt{\left(m+5\right)^2+1}=\left|2m-10\right|=\sqrt{4m^2-40m+100}\)

=>\(4m^2-40m+100=m^2+10m+26\)

=>\(3m^2-50m+74=0\)

=>\(m=\dfrac{25\pm\sqrt{403}}{3}\)

2: Gọi A,B lần lượt là tọa độ giao điểm của (d) với trục Ox,Oy

Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left(m+5\right)x+2m-10=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left(m+5\right)x=-2m+10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=\dfrac{-2m+10}{m+5}\end{matrix}\right.\)

=>\(OA=\left|\dfrac{-2m+10}{m+5}\right|=\left|\dfrac{2m-10}{m+5}\right|\)

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\left(m+5\right)x+2m-10\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\cdot\left(m+5\right)+2m-10=2m-10\end{matrix}\right.\)

=>OB=|2m-10|

ΔOAB vuông tại O

=>\(S_{AOB}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left|2m-10\right|}{\left|m+5\right|}\cdot\left|2m-10\right|\)

\(=\dfrac{\left|\left(m-5\right)\left(2m-10\right)\right|}{\left|m+5\right|}=\left|\dfrac{\left(m-5\right)\left(2m-10\right)}{m+5}\right|\)

\(S=3\) khi \(\left|\dfrac{\left(m-5\right)\left(2m-10\right)}{m+5}\right|=3\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{\left(m-5\right)\left(2m-10\right)}{m+5}=3\\\dfrac{\left(m-5\right)\left(2m-10\right)}{m+5}=-3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}2m^2-10m-10m+50=3m+15\\2m^2-20m+50=-3m-15\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}2m^2-20m+50-3m-15=0\\2m^2-20m+50+3m+15=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}2m^2-23m+35=0\\2m^2-17m+65=0\end{matrix}\right.\)

=>\(m\in\left\{\dfrac{23\pm\sqrt{249}}{4}\right\}\)

Xét ΔMAE và ΔMCB có:

         MA = MC (M là trung điểm của AC)

          ∠AME = ∠CMB (2 góc đối đỉnh)

          ME = MB (gt)

⇒ ΔMAE = ΔMCB (c.g.c)

⇒ AE = BC (2 cạnh tương ứng) (1)

Xét ΔNAF và ΔNBC có:

      NA = NB (N là trung điểm của AB)

      ∠ANF = ∠BNC (2 góc đối đỉnh)

       NF = NC (gt)

⇒ ΔNAF = ΔNBC (c.g.c)

⇒ AF = BC (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AE = AF

Ta có: ΔMAE = ΔMCB (cmt)

⇒ ∠MAE = ∠MCB (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong ⇒ AE // BC (3)

Ta có: ΔNAF = ΔNBC (cmt)

⇒ ∠NAF = ∠NBC (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong ⇒ AF // BC (4)

Từ (3) và (4) ⇒ 3 điểm E, A, F thẳng hàng