Bài 5: 

Ta có: \(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH\left(BH+9\right)=400\)

\(\Leftrightarrow BH^2+25HB-16HB-400=0\)

\(\Leftrightarrow BH=16\left(cm\right)\)

hay BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC^2=CH\cdot BC\\AH\cdot BC=AB\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=15\left(cm\right)\\AH=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt BH = x (0 < x < 25) (cm) => CH = 25 - x (cm)

Ta có : \(AH^2=BH.CH\Rightarrow x\left(25-x\right)=144\Leftrightarrow x^2-25x+144=0\)

\(\left(x-9\right)\left(x-16\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=9\\x=16\end{array}\right.\) (tm)

Nếu BH = 9 cm thì CH = 16 cm\(\Rightarrow AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

Nếu BH = 16 cm thì CH = 9 cm

\(\Rightarrow AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

Gỉa sử \(\Delta ABC\) có AB>AC

\(AB.AC=AH.BC=12.25=300\)

\(\Leftrightarrow2AB.AC=2.300=600\)

Áp dụng định lý Pytago cho \(\Delta ABC\) vuông tại A ta có:

\(AB^2+AC^2=BC^2=25^2=625\) (1)

\(\left(1\right)\Rightarrow AB^2+AC^2-2AB.AC=625-600\)

\(\Leftrightarrow\left(AB-AC\right)^2=25\Leftrightarrow AB-AC=5\)   (a)  (Vì AB>AC \(\Rightarrow AB-AC>0\))

\(\left(1\right)\Rightarrow AB^2+AC^2+2AB.AC=600+625=1225\)

\(\Leftrightarrow\left(AB+AC\right)^2=1225\Rightarrow AB+AC=35\) (b)

Cộng vế vs vế của (a) và (b) ta được: \(2AB=40\Rightarrow AB=20\)

                                                         \(\Rightarrow AC=AB-5=20-5=15\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A, \(AH\perp BC\)\(\Rightarrow\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{20^2}{25}=16\)

\(\Rightarrow CH=BC-BH=25-16=9\)

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thôi: 
AB*AC = AH*BC = 12*25 = 300 
AB^2 + AC^2 = BC^2 = 25^2 = 625 
giải hệ trên ta được : AB = 15, AC = 20 
AB^2 = BH*BC=> BH = AB^2/BC = 9 
AH^2 = BH*CH=> CH = AH^2/BH = 12^2/9 = 16 

NGOÀI RA HỆ PT TRÊN CÒN 1 NGHIỆM NỮA LÀ AB=20,AC=15 

a, Xét ΔHBA và ΔABC có :

\(\widehat{H}=\widehat{A}=90^0\)

\(\widehat{B}:chung\)

\(\Rightarrow\Delta HBA\sim\Delta ABC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AH}{AC}\)

\(\Rightarrow AB.AC=BC.AH\)

b, Xét ΔABC vuông A, theo định lý Pi-ta-go ta được :

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

Ta có : \(\Delta HBA\sim\Delta ABC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AH}{AC}\)

hay \(\dfrac{12}{20}=\dfrac{AH}{16}\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{12.16}{20}=9,6\left(cm\right)\)

câu c bài 1 là tích diện tích của tam giác AHM nhá'

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thôi: 
AB*AC = AH*BC = 12*25 = 300 
AB^2 + AC^2 = BC^2 = 25^2 = 625 
giải hệ trên ta được : AB = 15, AC = 20 
AB^2 = BH*BC=> BH = AB^2/BC = 9 
AH^2 = BH*CH=> CH = AH^2/BH = 12^2/9 = 16 
NGOÀI RA HỆ PT TRÊN CÒN 1 NGHIỆM NỮA LÀ AB=20,AC=15 

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

góc B chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔHBA

b: BC=căn 12^2+16^2=20cm

AH=12*16/20=192/20=9,6cm

BH=AB^2/BC=7,2cm

c: góc ANM=90 độ-góc ABN

góc AMN=góc HMB=90 độ-góc NBC

mà góc ABN=góc NBC

nên góc AMN=góc ANM

=>ΔAMN cân tại A

Bài 1: 

AH=12cm

AC=20cm

\(\widehat{ABC}=37^0\)

a, Tìm được BH=9cm, CH=16cm, AB=15cm, và AC=20cm

b, Tìm được  A M H ^ ≈ 73 , 74 0

c,  S A H M = 21 c m 2

Áp dụng định lý Pytago ta có :

\(BC^2=12^2+16^2=400=20^2\)

BC > 0 nên BC = 20 ( cm )

Lại có :

\(2S_{ABC}=AB.AC=BC.AH\)

\(\Leftrightarrow192=20AH\)

AH = 9,6 ( cm )

Vậy ...

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

góc B chung

=>ΔHAB đồng dạng với ΔACB

b:  BD/CD=AB/AC=3/4

=>S ABD/S ACD=3/4

c: BC=căn 12^2+16^2=20cm

BD/3=CD/4=20/7

=>BD=60/7cm

AH=12*16/20=9,6cm