Bài 22: Ba đường conic

a) Đường vừa nhận được là đường “màu đỏ” trong Hình 7.17.

b) Tổng khoảng cách từ đẩu bút đến các vị trí không thay đổi.

Cần điều điện a>c hay 2a>2c tức là \(M{F_1} + M{F_2} > {F_1}{F_2}\), nói cách khác là để điểm M nằm ngoài đoạn \({F_1}{F_2}\), từ đó mới tạo thành elip.

Không tồn tại M để \(M{F_1} + M{F_2} < {F_1}{F_2}\) (hay a <c)

Nếu \(M{F_1} + M{F_2} = {F_1}{F_2}\) thì M thuộc đoạn \({F_1}{F_2}\), cũng không tạo thành elip.

Quãng đường từ lúc bi lăn đến lúc về lỗ thu bi bằng tổng khoảng cách từ điểm bi chạm vào thành bàn tới hai tiêu điểm, dựa vào định nghĩa elip, tổng này luôn bằng 2a không đổi.

a)  Tọa độ 2 tiêu điểm là: \({F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)\).

b) Ta có: \(M{F_1} = \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} ,M{F_2} = \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} \).Vậy để điểm M thuộc Elip thì khoảng cách\(M{F_1} + M{F_2} = 2a\) nên \(\sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}}  = 2a\)

Ta có: \(c = \sqrt {{{100}^2} - {{64}^2}}  = 6\). Do đó (E) có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 6;0} \right),{F_2}\left( {6;0} \right)\) và có tiêu cự bằng 2c = 12.

75 cm trên bản vẽ ứng với 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.

Gọi M là điểm trên vòm ô thoáng, có hoành độ 2,5 và tung độ là h.

M thuộc elip nên \(\frac{{2,{5^2}}}{{16}} + \frac{{{h^2}}}{4} = 1\)

\(\Leftrightarrow h = \sqrt {4.\left( {1 - \frac{{2,{5^2}}}{{16}}} \right)}  = \frac{{\sqrt {39} }}{4} \approx 1,56\)

Vậy độ cao h trên thực tế là: \(h = 1,56.30 = 46,8\) cm

a) Khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới\({F_1},{F_2}\) là: \(M{F_1}, M{F_2}\)  với M là điểm đặt thiết bị âm thanh.

Rõ ràng \(M{F_1} > M{F_2}\) do thiết bị tại \({F_2}\) nhận được tín hiệu sớm hơn.

b) Có liên quan.

Gọi t là thời gian thiết bị tại \({F_2}\) nhận được tín hiệu.

Ta có: \(M{F_2}=t.343\)

Tại \({F_1}\), thời gian thiết bị nhận được tín hiệu là: \(t+2\)

=> \(M{F_1}=(t+2).343\)

=> \(M{F_1} -  M{F_2} =(t+2).343 - t.343=2.343=686\)

Vậy tập hợp các điểm M mà tại đó phát ra tín hiệu âm thanh để thiết bị tại \({F_2}\) nhận được sớm hơn 2 giây thỏa mãn \(M{F_1} -  M{F_2} =686\)

Giả sử \(M{F_1} > M{F_2}\), ta có:

\(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = M{F_1} - M{F_2} = M{F_1} + {F_1}{F_2} - \left( {M{F_2} + {F_2}{F_1}} \right)\)

Mà \(M{F_2} + {F_2}{F_1}> M{F_1} \Rightarrow \left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| < M{F_1} + {F_1}{F_2} - M{F_1} = {F_1}{F_2}\)

Hay \(2a < 2c \Leftrightarrow a < c\)

Ta có: \(AM = BM = CN = DN,AN = BN = CM = DM\). Từ đó suy ra

\(\left| {AM - AN} \right| = \left| {BM - BN} \right| = \left| {CM - CN} \right| = \left| {DM - DN} \right| \).

Và \(\left| {AM - AN} \right| <MN\) (bất đẳng thức trong tam giác)

Vậy bốn điểm \(A,B,C,D\) cùng thuộc một đường hyperbol với M,N là hai tiêu điểm.

Ta có: \(M{F_1} = \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} ,M{F_2} = \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} \).Vậy để điểm M thuộc Hyperbol khi và chỉ khi \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\) hay\(\left| {\sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}}  - \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a\)