Bài 1 :
a/ \(14,58.460+7,29.540.2=1458.\frac{46}{10}+729.2.\frac{54}{10}=1458\frac{\left(46+54\right)}{10}=1458.\frac{100}{10}=14580\)
b/ \(200-198+196-194+...+8-6+4-2=2.\left(100-99+98-97+...+4-3+2-1\right)\)
\(=2.\left(1+1+...+1+1\right)=2.50=100\)
c/ \(\frac{2010.2009-1}{2008.2010+2009}:\frac{1}{1999}=\frac{\left(2009+1\right).2009-1}{\left(2009-1\right).\left(2009+1\right)+2009}:\frac{1}{1999}\)
\(=\frac{2009^2+2009-1}{2009^2+2009-1}:\frac{1}{1999}=1:\frac{1}{1999}=1999\)
Bài 2 :a/ Ta có :
\(1< 1000^{1000};2^2< 1000^{1000};3^3< 1000^{1000};...;999^{999}< 1000^{1000}\)
\(\Rightarrow M< 1000.1000^{1000}+1000^{1000}=1001.1000^{1000}\)
Mặt khác, ta dễ thấy \(M>1000^{1000}\)
Suy ra \(1000^{1000}< M< 1001.1000^{1000}\) hay 100...0 < M < 1001000...0
Vậy M có dạng M = 100......
=> Ba chữ số đầu tiên từ trái qua là 100
b/ \(A-B=\frac{2009^{2009}+1}{2009^{2010}+1}-\frac{2009^{2010}-2}{2009^{2011}-2}=\frac{2009^{4020}+2009^{2011}-2.2009^{2009}-2-\left(2009^{4020}-2.2009^{2010}+2009^{2010}-2\right)}{\left(2009^{2010}+1\right)\left(2009^{2011}-2\right)}\)
\(=\frac{2009^{2011}+2009^{2010}-2.2009^{2009}}{\left(2009^{2010}+1\right).\left(2009^{2011}-2\right)}=\frac{2009^{2009}.\left(2009^2+2009-2\right)}{\left(2009^{2010}+1\right).\left(2009^{2011}-2\right)}>0\)
=> A - B > 0 => A > B
Bài 3 : a/ Ta xét
\(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{\left(a-c\right)-\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{\left(b-a\right)-\left(b-c\right)}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{\left(c-b\right)-\left(c-a\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a-c}+\frac{1}{b-c}-\frac{1}{b-a}+\frac{1}{c-a}-\frac{1}{c-b}\)
\(=2\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)=2013\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}=\frac{2013}{2}\)
b/ Đặt \(\frac{3x-2y}{4}=\frac{2z-4x}{3}=\frac{4y-3z}{2}=k\)
Suy ra \(\begin{cases}3x-2y=4k\\2z-4x=3k\\4y-3z=2k\end{cases}\)
Từ hệ trên ta có : \(4y=2k+3z=6x-8k\) và \(2z-4x=3k\)
hay \(\begin{cases}3z-6x=10k\\2z-4x=3k\end{cases}\) \(\Rightarrow\frac{3z-6x}{2z-4x}=\frac{10}{3}\) \(\Rightarrow2x=z\Leftrightarrow\frac{x}{2}=\frac{z}{4}\left(1\right)\)
Tương tự như trên, ta có \(6z=8y-4k=9k+12x\) và \(3x-2y=4k\)
hay \(\begin{cases}8y-12x=13k\\3x-2y=4k\end{cases}\) \(\Rightarrow\frac{8y-12x}{3x-2y}=\frac{13}{4}\Leftrightarrow3x=2y\Leftrightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta suy ra \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\)
Bài 4. a/ \(\left|x+\frac{1}{1.3}\right|+\left|x+\frac{1}{3.5}\right|+...+\left|x+\frac{1}{97.99}\right|=51x\)
Nhận xét : \(VT>0\Rightarrow VP>0\Rightarrow51x>0\Rightarrow x>0\)
Khi đó, mỗi hạng tử trong trị tuyệt đối luôn dương, tức là pt đã cho tương đương với :
\(\left(x+\frac{1}{1.3}\right)+\left(x+\frac{1}{3.5}\right)+...+\left(x+\frac{1}{97.99}\right)=51x\)
\(\Leftrightarrow49x+\left(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{97.99}\right)=51x\)
\(\Leftrightarrow2x=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{97}-\frac{1}{99}\right)\)
\(\Leftrightarrow2x=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{99}\right)\Leftrightarrow x=\frac{49}{198}\) (thỏa mãn)
b/ Gọi ba số cần tìm là x,y,z (x,y,z > 0).
Đặt \(x=\frac{1680}{a}\) , \(y=\frac{1680}{b}\) , \(z=\frac{1680}{c}\) với a,b,c đồng thời khác 0.
Theo đề bài , ta có : \(15x=10y=6z\Leftrightarrow\frac{1680}{a}.15=\frac{1680}{b}.10=\frac{1680}{c}.6\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{15}=\frac{b}{10}=\frac{c}{6}\Leftrightarrow30.\frac{a}{15}=30.\frac{b}{10}=30.\frac{c}{6}\Leftrightarrow2a=3b=5c\)
Mà BCNN(2;3;5) = 30 => \(\begin{cases}a=\frac{30}{2}=15\\b=\frac{30}{3}=10\\c=\frac{30}{5}=6\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}x=112\\y=168\\z=280\end{cases}\)
Vậy ba số cần tìm là 112 , 168 và 280
Bài 5.
Từ A hạ đường cao AH xuống BE (H thuộc BE)
Đặt tên các cạnh như hình vẽ. Ta cần tính \(\frac{x}{b+c-a}\)
Ta có : \(\widehat{ADE}=\widehat{DAB}+\widehat{DBA}=15^o+40^o=55^o\)
\(\widehat{AEC}=90^o-\widehat{ADE}=90^o-55^2=35^o\)
\(\widehat{ACB}=180^o-\widehat{CAB}-\widehat{CBA}=180^o-30^o-40^o=110^o\)
\(\widehat{CAE}=\widehat{ACB}-\widehat{AEC}=110^o-35^o=75^o\)
Áp dụng định lí Sin , ta có :
+) \(\frac{x}{sinEAC}=\frac{b}{sinAEC}\Rightarrow x=\frac{b.sin75^o}{sin35^o}\) (1)
+) \(\frac{a}{sinBAC}=\frac{b}{sinABC}=\frac{c}{sinBCA}=\frac{b+c-a}{sinABC+sinBCA-sinBAC}\)
hay \(b+c-a=\frac{b.\left(sin40^o+sin110^o-sin30^o\right)}{sin40^o}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{x}{b+c-a}=\frac{b.sin75^o}{sin35^o}:\frac{b.\left(sin40^o+sin110^o-sin30^o\right)}{sin40^o}=\frac{sin75^o.sin40^o}{sin35^o.\left(sin40^o+sin110^o-sin30^o\right)}=1\)
Bài 6 :
a/ Vì KI // BC nên áp dụng định lí Talet ta có :
\(\frac{AK}{AB}=\frac{AI}{AC}\) (1)
Tương tự , BC // DE nên áp dụng định lí Talet , ta có :
\(\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}\) (2)
Mà AK = BD , nên từ (1) và (2) ta suy ra \(\frac{AI}{AC}=\frac{CE}{AC}\) hay AI = CE
b/
Qua E kẻ đường thẳng song song với BD , cắt BC tại N
Khi đó ta có DE // BN , EN // BD => BDEN là hình bình hành => DE = BN (3)
Xét tam giác KAI và tam giác NEC có :
AK = NE = BD , góc KAI = góc NEC (vì NE // AB) , AI = EC (cmt)
=> tam giác KAI = tam giác NEC (c.g.c) => KI = NC (4)
Cộng (3) và (4) theo vế ta được : DE + KI = BN + NC = BC = 5 (cm)