Gọi số cần tìm là a
Nếu a = 0 hoặc 1 dễ dàng thấy không thỏa mãn
Nếu a > 2 thì a luôn viết được dưới dạng lũy thừa của 1 hay nhiều số nguyên tố
Nếu a = xy (x nguyên tố; y > 0)Do a có 8 ước nên y + 1 = 8 => y = 7
a nhỏ nhất nên x nguyên tố nhỏ nhất => x = 2
=> a = 27 = 128
Nếu a = xy.zk (x;z nguyên tố; y;k > 0)Do a có 8 ước nên (y + 1)(k + 1) = 8
a nhỏ nhất nên y; k nhỏ nhất
Không mất tính tổng quát ta giả sử y > k dễ dàng tìm được y = 3; k = 1
a nhỏ nhất nên x; z nguyên tố nhỏ nhất
=> x = 2; z = 3 hoặc x = 3; z = 2
Giá trị của a lần lượt là 24; 54
Nếu a = xy.zk.cb (x;z;c nguyên tố; y;k;b > 0)Do a có 8 ước nên (y + 1)(k + 1)(b + 1) = 8
Ta tìm được y = k = b = 1 thỏa mãn
a nhỏ nhất nên x; z; c nhỏ nhất
Dễ dàng tìm được a = 21.31.51 = 30
Nếu a = xy.zk.cb.mn... (x;z;c;m;... nguyên tố; y;k;b;n... > 0)Do a có 8 ước nên (y + 1)(k + 1)(b + 1)(n + 1)... = 8
Trong các số y;k;b;n;... luôn tìm được 1 số = 0, vô lý
Vậy số nhỏ nhất cần tìm là 24
Ta có 8 = 1.8 = 2.4
Vậy số đó chỉ có 2 ước nguyên tố.
+Số có 4 ước chỉ chứa 1 ước nguyên tố là 2(Vì a nhỏ nhất)
Gọi số đó là a
Suy ra a = 2\(^x\) có số ước là: x + 1 = 8
x = 7
Suy ra a= 27 = 128 (1)
+ Số a có 2 ước nguyên tố là 2 và 3(Vì a nhỏ nhất)
a = 2x . 3y a có số ước (x + 1) . (y + 1) = 8
= 2 . 4
x + 1 = 4
x = 4-1 = 3
y + 1 = 2
y = 2-1 = 1
a = 23 . 31 =384( 2)
Vì 128 < 384
Vậy a = 128.