Giải:
Ta có:
\(x^2-2y^2=1\)
\(\Rightarrow x^2-1=2y^2\)
Nếu \(x⋮3\) thì:
Vì \(x\) là số nguyên tố nên \(x=3\) lúc đó \(y=2\) (thỏa mãn)
Nếu \(x⋮̸\)\(3\) thì:
\(x^2-1⋮3\) do đó \(2y^2⋮3\)
Mà \(\left(2;3\right)=1\) nên \(y⋮3\) khi đó \(x^2=19\) (không thỏa mãn)
Vậy cặp số \(\left(x;y\right)\) duy nhất tìm được thỏa mãn điều kiện là \(\left(2;3\right)\)
Biến đổi biểu thức tương đương: (x^2-1)/2=y^2
ta có: vì x,y là số nguyên dương nên
+) x>y nên x phải là số lẽ.
Từ đó đặt x= 2k+1( k nguyên dương)
Biểu thức tương đương 2*k*(k+1)=y^2(1)
để ý rằng:
Y là số nguyên tố nên y^2 sẽ là một số nguyên dương mà nó có duy nhất 3 ước là: { 1,y,y^2}
Từ (1) dễ thấy y^2 chia hết cho 2, dĩ nhiên y^2 không thể là 2, vậy chỉ có thể y=2=> k=1
=>x=3
vậy ta chỉ tìm được một cặp số nguyên tố thỏa mãn bài ra là x=3 và y=2( thỏa mãn)