Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của : 

G = \(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|+...+\left|x-2021\right|\) 

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT dạng $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:

$|x-1|+|x-2021|=|x-1|+|2021-x|\geq |x-1+2021-x|=2020$

$|x-2|+|x-2020|=|x-2|+|2020-x|\geq |x-2+2020-x|=2018$

..............

$|x-1010|+|x-1012|\geq |x-1010+1012-x|=2$

Cộng theo vế thu được:

$G\geq 2020+2018+2016+...+2+|x-1011|$

$G\geq 1021110+|x-1011|\geq 1021110$

Vậy $G_{\min}=1021110$

Giá trị này đạt tại:

\(\left\{\begin{matrix} (x-1)(2021-x)\geq 0\\ (x-2)(2020-x)\geq 0\\ .....\\ (x-1010)(1012-x)\geq 0\\ x-1011=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1011\)