Ta có:\(a^2-2b^2=1\)
\(\Rightarrow a^2-1=2b^2\)
\(\left(a-1\right)\left(a+1\right)=2b^2\)(*)
\(\left(a-1\right)\left(a-1+2\right)=2b^2\)
\(\left(a-1\right)^2+2\left(a-1\right)=2b^2\)
Vì a là số nguyên tố nên: \(a-1⋮2\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2⋮4,2\left(a-1\right)⋮4\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2+2\left(a-1\right)⋮4\)
\(\Rightarrow2b^2⋮4\)
\(\Rightarrow b^2⋮2\)
Mà 2 là số nguyên tố
\(\Rightarrow b⋮2\)
Mà b là số nguyên tố nên b=2
Thay b=2 vào biểu thức
\(\Rightarrow a^2-2.2^2=1\)
\(\Rightarrow a^2-8=1\)
\(\Rightarrow a^2=9\)
\(\Rightarrow a=3\left(a>0\right)\)
Vậy các số nguyên tố (a;b) là (3;2)
Giải thích (*)
Ta có:\(a^2-1=a^2-a+a-1=a\left(a-1\right)+a-1=\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)(đpcm)