Question

Tìm các phân số có tử và mẫu đều dương sao cho tổng của phân số đó với số nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất.

Answer 1

Gọi phân số phải tìm là \(\frac{a}{b}\). Phân số này phải khác 0, nghịch đảo của nó là \(\frac{b}{a}\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\), ta đặt a = b + m với \(m\ge0\).

Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}=2\)

Như vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\). Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi m = , khi đó a = b.

Vậy phân số mà tổng của nó với số nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất là phân số có tử bằng mẫu, tức là phân số có giá trị bằng 1.