Cô hoàn chỉnh lại bài làm trên trang diễn đàn toán học:
\(13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}=16\)
Điều kiện xác định: \(-1\le x\le1\).
Ta có:
\(\left(13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}\right)^2\)
\(=\left(13\left|x\right|\sqrt{1-x^2}+9\left|x\right|\sqrt{1+x^2}\right)^2\)
\(=x^2\left(\sqrt{13}\sqrt{13}\sqrt{1-x^2}+3\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{1+x^2}\right)^2\) (*)
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a cho \(\sqrt{13}.\sqrt{13}.\sqrt{1-x^2}+3\sqrt{3}.\sqrt{3}.\sqrt{1+x^2}\) ta có:
(*) \(x^2\left(13+27\right)\left(13-13x^2+3+3x^2\right)=40x^2\left(16-10x^2\right)\)
\(=4.10x^2\left(16-10x^2\right)\le4.\left(\dfrac{10x^2+16-10x^2}{2}\right)^2=16\).
Vì vậy \(VT\le VP\) . Dấu bằng xảy ra khi:
\(10x^2=16-10x^2\Leftrightarrow x^2=\dfrac{4}{5}\)\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\).
$13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}=16$ - Các bài toán và vấn đề về PT - HPT - BPT - Diễn đàn Toán học