Question

Giải phương trình :

\(2^{\frac{1-x^2}{x^2}}-2^{\frac{1-2x}{x^2}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}\)

Answer 1

Điều kiện \(x\ne0\) nhận thấy 

\(\frac{1-2x}{x^2}-\frac{1-x^2}{x^2}=\frac{x^2-2x}{x^2}=1-\frac{2}{x}=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{x}\right)\)

Do đó phương trình tương đương với 

\(2^{\frac{1-x^2}{x^2}}-2^{\frac{1-2x}{x^2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1-2x}{x^2}-\frac{1-x^2}{x^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow2^{\frac{1-x^2}{x^2}}+\frac{1}{2}.\frac{1-x^2}{x^2}=2^{\frac{1-2x}{x^2}}+\frac{1}{2}.\frac{1-2x}{x^2}\)

Mặt khác \(f\left(t\right)=2^t+\frac{t}{2}\) là hàm đồng biến trên R

Do đó từ : \(f\left(\frac{1-x^2}{x^2}\right)=f\left(\frac{1-2x}{x^2}\right)\)

Suy ra 

\(\frac{1-x^2}{x^2}=\frac{1-2x}{x^2}\)

Từ đó dễ dàng tìm ra được x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình