Ta có :
\(x^2+y^2+z^2=1\)
Thay vào biểu thức thứ 2 :
\(x^2+y^2-2xy+2yz-2zx+1=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2+2yz+z^2+x^2-2zx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y+z\right)^2+x\left(x-2z\right)=0\)
Mà \(\left(x-y\right)^2\ge0;\left(y+z\right)^2\ge0\)
=> Để biểu thức bằng 0 : \(x\left(x-2z\right)=0;\left(x-y\right)=0;\left(y+z\right)=0\)
Xảy ra hai trường hợp :
TH1 :
x = 0
x - y = 0
y + z =0
=> x = y = z = 0 ( loại vì x^2 + y^2 +z ^2 = 0 ) (1)
TH2
x- 2z = 0
x - y = 0
y +z = 0
Trừ x - 2z - x + y =0 => - 2z + y = 0 (2 )
y +z = 0 (3)
Giai hệ (2) ,(3) có : y =z = 0 => x = 0 (loại vì x^2 + y^2 +z ^2 = 1 )(4)
Từ (1) , (4) :
=> Phương trình vô nghiệm .
P/s : đừng ném gạch nha
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=1\left(1\right)\\x^2+y^2-2xy+2yz-2xz+1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Thay \(1=x^2+y^2+z^2\)vào phương trình (2):
\(2x^2+2y^2+z^2-2xy+2yz-2xz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-z\right)^2+x^2+y^2=0\)
mà \(\left(x-y-z\right)^2;x^2;y^2\)không âm
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y-z=0\\x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z=0\)(mâu thuẫn với (1))
Vậy HPT vô nghiệm
Vì x2 + y2 + z2 = 1
Thay x2 + y2 + z2 vào phương trình thứ 2 ta được :
x2 + y2 - 2xy +2yz - 2zx + x2 + y2 + z2 = 0
\(\Leftrightarrow\) x2 + y2 + ( x2 + y2 + z2 - 2xy + 2yz - 2zx ) = 0
\(\Leftrightarrow\) x2 + y2 + ( y - x + z)2 = 0
Ta có : x2 \(\ge\)0 ; y2 \(\ge\) 0 ; ( y \(-\)x \(+\) z )2 \(\ge\) 0 (\(\forall\)x;y;z \(\in\) R )
Dấu '' = '' xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = y = z = 0
Mà x2 + y2 + z2 = 1 => Mâu thuẫn
Vậy hệ phương trình vô nghiệm
