có một con kiến( đóng vai trò chư một chất điểm) và một hệ tọa độ Oxy con kiến xuất phát từ góc tọa độ O đi được 1 đv [ điểm có tọa độ là (1,0)] sau đó rẽ trái một góc 90 độ và đi tiếp một đoạn đường bằn một nửa ban đầu[ tức (1,1/2)] và tiếp tục rẽ trái 90 và đi tiếp đọa đường bằng phân nửa đoạn thứ 2 lại rẽ,...... tạo thành xoắn ốc...
câu hỏi đặt ra là: bạn hãy tìm tọa độ mà con kiến này phải dừng lại.
* chú ý: chúng ta không dùng giới hạn ở đây... vì theo khái niệm giới hạn con kiến không bao giờ có điểm dừng.
Theo đề bài thì :
+ Hoành độ cuối cùng của con kiến là x = 1 - 1/4 + 1/4^2 - 1/4^3 + 1/4^4 - ...
...x là tổng của cấp số nhân vô hạn với u1 = 1; q = -1/4 ---> x = u1/(1-q) = 4/5
+ Tung độ cuối cùng của con kiến là y = 1/2 - 1/8 + 1/32 - 1/128 + 1/512 - ...
...y là tổng của cấp số nhân vô hạn với v1 = 1/2; q = -1/4 ---> y = v1/(1-q) = 2/5
Vậy tọa độ cuối cùng của con kiến là (4/5 ; 2/5)
Hoành độ cuối cùng của điểm mà con kiến dừng lại là x = 1-1/4+1/4^2-1/4^3+...
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (xem thêm về dãy số)
Ta tính được: x=1.(1+1/4)=4/5
Tương tự, ta tính được tung độ y = 2/5
Vậy điểm đó là (4/5;2/5)