Question

Chứng tỏ nếu a nguyên tố lớn hơn 3 thì a^2-1 chia hết cho 24

Answer 1

Giải:

Có: \(a^2-1=a^2-1^2=\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3

Nên a không chia hết cho 2 và 3

Ta có: a không chia hết cho 2

\(\Rightarrow\) a-1 và a+1 là hai số chẵn liên tiếp

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮8\) (1)

Lại có: a không chia hết cho 3

Nếu \(a=3k+1\Rightarrow a-1=3k⋮\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮3\)

Tương tự: Nếu \(a=3k+2\Rightarrow a+1=3k+3⋮\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮3\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮\left(8;3\right)\)

Mà \(ƯCLN\left(8;3\right)=1\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮24\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Chúc bạn học tốt!!!