Chứng minh rằng tổng các bình phương của 1984 số tự nhiên liên tiếp không thể là bình phương của một số nguyên

Trong một dãy tăng gồm 10 số nguyên liên tiếp, tổng của 5 số đầu tiên là 560. Hỏi tổng của 5 số tiếp theo trong dãy đó là bao nhiêu?a. 575b. 565c. 585d. 580Nếu x và y là hai số nguyên tố, thì giá trị nào dưới đây không thể là tổng của x và y?a. 16b. 23c. 13d. 9Tính tổng : S 1 1.3 + 1 3.5 + 1 5.7 + . . . + 1 99.101a. 52/9901b. 50/101c. 51/990d. 4900/9999

Đọc tiếp

Trong một dãy tăng gồm 10 số nguyên liên tiếp, tổng của 5 số đầu tiên là 560. Hỏi tổng của 5 số tiếp theo trong dãy đó là bao nhiêu?

a. 575

b. 565

c. 585

d. 580

Nếu x và y là hai số nguyên tố, thì giá trị nào dưới đây không thể là tổng của x và y?

a. 16

b. 23

c. 13

d. 9

Tính tổng : $LaTeX:S = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + ... + \frac{1}{99.101}$ S = 1 1.3 + 1 3.5 + 1 5.7 + . . . + 1 99.101

a. 52/9901

b. 50/101

c. 51/990

d. 4900/9999

Xem chi tiết

Lớp 7 Toán Violympic toán 7

H24

Ein

4 tháng 3 2021 lúc 20:50

Chứng minh rằng trong 2 số dương a) Số nào lớn hơn thì có bình phương lớn hơn B) Số nào có bình phương lớn hơn thì lớn hơn

Xem chi tiết

Lớp 7 Toán Violympic toán 7

PA

phạm lê quỳnh anh

18 tháng 10 2021 lúc 6:07

DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.Bài 1. Tính A 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)Hướng dẫn giảiCách 1:Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó:Gọi a1 1.2 → 3a1 1.2.3 → 3a1 1.2.3 - 0.1.2a2 2.3 → 3a2 2.3.3 → 3a2 2.3.4 - 1.2.3a3 3.4 → 3a3 3.3.4 → 3a3 3.4.5 - 2.3.4…………………..an-1 (n - 1)n → 3an-1 3(n - 1)n → 3an-1 (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)nan n(n + 1) → 3an 3n(n + 1) → 3an n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)Cộng từng vế của các đẳng thứ...

Đọc tiếp

DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.

Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó:

Gọi a₁ = 1.2 → 3a₁ = 1.2.3 → 3a₁= 1.2.3 - 0.1.2
a₂ = 2.3 → 3a₂ = 2.3.3 → 3a₂= 2.3.4 - 1.2.3
a₃ = 3.4 → 3a₃ = 3.3.4 → 3a₃ = 3.4.5 - 2.3.4
…………………..
a_n-1 = (n - 1)n → 3a_n-1 =3(n - 1)n → 3a_n-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
a_n = n(n + 1) → 3a_n = 3n(n + 1) → 3a_n = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)

Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:

3(a₁ + a₂ + … + a_n) = n(n + 1)(n + 2)

3(a₁ + a₂ + ... + a_n) = n(n + 1)(n + 2) ⇒ $A = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}$

Cách 2: Ta có

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3

3A = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)]

3A = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)

3A = n(n + 1)(n + 2)

$\Rightarrow A = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}$

* Tổng quát hoá ta có:

k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; …

Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:

k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)

Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính kế thừa của bài 1 ta có:

4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + ... + (n - 1)n(n + 1).4

4B = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)]

4B = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)

$\Rightarrow B = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{4}$

Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)

Hướng dẫn giải

Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3)

2.5 = 2.(2 + 3)

3.6 = 3.(3 + 3)

4.7 = 4.(4 + 3)

…….

n(n + 3) = n(n + 1) + 2n

Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n

C = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n(n + 1) + 2n

C = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + … + 2n)

⇒ 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)

3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)

3C = n(n + 1)(n + 2) + $\frac{3\left(2n\ +\ 2\right)n}{2}$

⇒ C = $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ + $\frac{3\left(2n\ +\ 2\right)n}{2}$ = $\frac{n(n+1)(n+5)}{3}$

Bài 4: Tính D = 1²+ 2² + 3² + .... + n²

Hướng dẫn giải

Nhận xét: Các số hạng của bài 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, còn ở bài này là tích của hai số tự nhiên giống nhau. Do đó ta chuyển về dạng bài tập 1:

Ta có:

A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ n(n + 1)

A = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + .... + n.(n + 1)

A = 1² + 1.1 + 2² + .1 + 3² + 3.1 + ... + n² + n.1

A = (1² + 2² + 3² + .... + n²) + (1 + 2 + 3 + ... + n)

Mặt khác theo bài tập 1 ta có:

$A = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}$ và 1 + 2 + 3 + .... + n =

⇒D = 1² + 2² + 3² + .... + n² =

Bài 5: Tính E = 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³

Hướng dẫn giải

Tương tự bài toán ở trên, xuất phát từ bài toán 2, ta đưa tổng B về tổng E:

B = 1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 + ... + (n - 1)n(n + 1)

B = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 -1).3.(3 +1) + ....+ (n - 1).n.(n + 1)

B = (2³ - 2) + (3³ - 3) + .... + (n³ - n)

B = (2³ + 3³ + .... +n³) - (2 + 3 + ... + n)

B = (1³ + 2³ + 3³ + ... + n³) - (1 + 2 + 3 + ... + n)

B = (1³ + 2³ + 3³ + ... + n³) - $\frac{n(n + 1)}{2}$

⇒ 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = B + $\frac{n(n + 1)}{2}$

Mà $B = \frac{{\left( {n - 1} \right).n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{4}$

⇒ E = 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = $\frac{{\left( {n - 1} \right).n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{4}$ + $\frac{n(n + 1)}{2}$

Xem chi tiết

Lớp 7 Toán Violympic toán 7

TH

Tạ Quang Hiếu

1 tháng 8 2021 lúc 21:55

Cho bảng ô vuông kích thước 9 x 9. Người ta điền các số 1, 2, ..., 81 vào các ô vuông của bảng, mỗi ô vuông một số và không có hai ô vuông nào điền số giống nhau theo một thứ tự nào đó. Chứng minh rằng tồn tại một bảng con 2 x 2 sao cho tổng các số trong bảng con này lớn hơn 137.

Xem chi tiết

Lớp 7 Toán Violympic toán 7