Gọi số nguyên lẻ đó là \(2k+1\)\(\left(k\in N\right)\)
Ta có bình phương của nó là \(\left(2k+1\right)^2\)
Biến đổi :
\(\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1=4k\left(k+1\right)+1\)
Vì \(k\)và \(k+1\)là 2 số liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 2
\(\Rightarrow4k\left(k+1\right)⋮\left(2\cdot4\right)=8\)
\(\Rightarrow4k\left(k+1\right)+1:8\)dư 1 (đpcm)
Gọi 1 số nguyên lẻ bất kì là: a (a thuộc N và a lẻ)
Xét: a^2-1=(a-1)(a+1) vì a lẻ nên: a-1 và a+1 chẵn
mà a-1 và a+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 suy ra (a-1)(a+1) chia hết cho 2.4
suy ra (a-1)(a+1) chia hết cho 8
suy ra a^2 chia 8 dư 1. Nên: bình phương của 1 số lẻ chia 8 dư 1
Số lẻ có dạng 2k+1
(2k+1)2=4k2+4k+1
=4k.(k+1)+1
Vì k(k+1) là 2 số tự nhên liên tiếp
Suy ra k(k+1) chia hết cho 2=>4k(k+1) chia hết cho 8
=>4k(k+1)+1 chia 8 dư 1
=>4k2+4k+1 chia 8 dư 1=>(2k+1)2 chia 8 dư 1(ĐPCM)