Question

Chứng minh \(n^2+n+5\) không chia hết cho 121 với mọi n ∈ N.

Answer 1

Lời giải

Với \(n=24\) luôn có \(n^2+n+5\vdots 121\). Đề bài sai.

Sửa đề:CMR với mọi $n$ thì \(n^2+3n+5\) không chia hết cho 121

----------------------------------------------------

Phản chứng. Giả sử \(n^2+3n+5\vdots 121(*)\)

\(\Rightarrow n^2+3n+5\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow n^2+3n+5-11n\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow n^2-8n+5\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow (n-4)^2-11\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow (n-4)^2\vdots 11\Rightarrow n-4\vdots 11\) (do \(11\in P\) )

\(\Rightarrow n=11k+4\)

Khi đó: \(n^2+3n+5=(11k+4)^2+3(11k+4)+5\)

\(=121(k^2+k)+33\not\vdots 121\) (trái với \((*)\) )

Do đó điều giả sử là vô lý

Suy ra \(n^2+3n+5\not\vdots 121\forall n\in\mathbb{N}\)